Landau Symbole

18.10.2010, 21:40

DerJFK

Landau Symbole

Aufgabe:

Man schreibe dem folgenden Ausdruck in der Form
$\begin{eqnarray*} $f(h) = O(h^m) \ \text{bzw.} \ f(h) = o(h^m) \ \text{für} \ h \in \mathbb R_+ , \ h \longrightarrow 0 \ \text{mit einem möglichst großen} \ m \in \mathbb N$ \end{eqnarray*}$

Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} $f(h) = \frac{\sin (1+h)-2\sin(1)+sin(1-h)}{h^2} + \sin(1)$ \end{eqnarray*}$

Frage:

Mir fehlt gerade der Ansatz, wie ich das Umstellen soll um auf irgendeine Form zu kommen um das h zu bestimmen. Hat jemand evtl. einen Tipp für mich?

18.10.2010, 21:49

René Gruber

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Taylorentwicklung der Sinusfunktion nutzen, bis zu einem "passenden" Grad.

19.10.2010, 23:10

DerJFK

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Danke für deine Antwort, nur leider verstehe ich nicht ganz

wenn ich nun die Taylor Reihe für Sinus einsetze sieht das wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} $f(h) = \frac{ \sum \limits_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \frac{ (1+h)^{2k+1} + (1-h)^{2k+1} }{(2k+1)!} - 2\sin (1) } {h^2}+ \sin (1)$ \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun ein paar Glieder berechnen würde, würde es ab k=1 schon recht wirr werden. Das einzige was mir auffällt (in der Hoffnung das es richtig ist), dass der höchste grad immer $\begin{eqnarray*} $h^{2k}$ \end{eqnarray*}$ ist,... nur weiß ich grad nicht ob das mir weiterhilft ?

20.10.2010, 00:36

Cugu

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Die Idee ist eigentlich den Sinus um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und nicht um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zu entwickeln...
Dann genügen auch ein paar wenige Summanden plus Restglied!

20.10.2010, 00:47

René Gruber

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Zitat:

Original von Cugu
Die Idee ist eigentlich den Sinus um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und nicht um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zu entwickeln...

Ganz genau - ich dachte, das wäre klar bei diesen vorliegenden Ausdrücken wie $\begin{eqnarray*} \sin(1\pm h) \end{eqnarray*}$ .

25.10.2010, 11:38

DerJFK

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Anstatt über die Taylorentwicklung habe ich die Umformung

$\begin{eqnarray*} $\sin (x \pm y) = \sin (x) \cos (y) \pm \cos(x) \sin(y)$ \end{eqnarray*}$

dadurch lässt sich das ganze, sehr vereinfachen

$\begin{eqnarray*} $2 \sin (1) \frac {\cos (x) -1}{ h^2} - sin(1) \rightarrow 0 \ (h \rightarrow 0)$ \end{eqnarray*}$

aber auch danke für die hinweise

25.10.2010, 16:15

René Gruber

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Zitat:

Original von DerJFK
$\begin{eqnarray*} $2 \sin (1) \frac {\cos (x) -1}{ h^2} - sin(1) \rightarrow 0 \ (h \rightarrow 0)$ \end{eqnarray*}$

Die Umformung ist zwar richtig (sofern du das $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ im Zähler durch $\begin{eqnarray*} \cos(h) \end{eqnarray*}$ ersetzt), aber die dann folgende Grenzwertbildung ist nicht genug für das, was gefragt wurde:

Du sollst nicht nur nachweisen, dass der Ausdruck gegen 0 konvergiert, sondern auch wie schnell! D.h. $\begin{eqnarray*} O(h^2) \end{eqnarray*}$ , oder doch sogar $\begin{eqnarray*} O(h^4) \end{eqnarray*}$ , ...

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