Matrixmultiplikation und inneres Produkt |
19.10.2010, 21:09 | Steinbock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Matrixmultiplikation und inneres Produkt ich soll zeigen: [vT AT Au]^2 <= (uT AT Au)(vT AT Av) mit: A_n,n; u_n,1 und v_n,1, Meine Ideen: ich habe umgeformt zu: (vT AT Au) (vT AT Au) <= (uT AT Au) (vT AT Av); dann weiter : (vT ATA u) (vT ATA u) <= (uT ATA u) (vT ATA v); ATA kommt in jeder Klammer vor, ist also als Beitrag zur Lösung irrelevant; übrig bleibt: (vT u)(vT u) <= (uT u) (vT v); das ist : <u,v>^2 <= <u,u> <v,v> ; weiter: <u,v>^2 <= ||u||^2 ||v||^2 ; die Cauchy-Schwarz Ungleichung : |<u,v>| <= ||u|| ||v||=> die Ungleichung gilt dann auch nach dem Quadrieren der Ungleichung. Quo errat demonstrator ? (ich befürchte,mehrmals), oder: q.e.d ? |
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19.10.2010, 22:03 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wieder kann ich nur sagen: Latex ist hier nicht umsonst eingebunden! So werde ich als potentieller Helfer nur von riesigen Symbolhaufen abgeschreckt. |
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20.10.2010, 00:50 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Apropos Cauchy-Schwarz Ungleichung: Das ist doch nicht anderes als Cauchy-Schwartz, was du das zeigen sollst. Da wegen positiv definit ist und außerdem symmetrisch...
Die Argumentation ist nicht gerechtfertigt! z.B. ist aber . |
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22.10.2010, 21:49 | Steinbock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich komme nicht drauf; also, mein Vorwissen kennt noch kein positiv definit und symmetrisch; ich sollte mit folgenden Formeln umgehen können: vT u = <u,v>; <Au, v> = <u, AT v> <u, Av> = <AT u , v > und |<u, v>| <= ||u|| ||v||; diese ist nur bekannt, noch ohne Beweis. vielleicht gibt mir jemand einen Tipp. |
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22.10.2010, 23:09 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne Einschränkung ist . ---------- Nun setzt du und formst um. |
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30.10.2010, 18:08 | Steinbock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ,nächster Ansatz: Beweise: (vT AT Au )^2 <= (uT AT Au) (vT AT Av): diesen Term kann umformen zu: ( <AT Au, v>) ^2 < = <AT Au, u> <AT Av, v> ; (Skalarproduktbildung) mit der Abkürzung: ATA = B wird daraus: (<Bu,u>)^2 <= < Bu, u > <Bv, v> ; vielleicht ist das eine Sackgasse, zumindest komme ich nicht weiter; ich will eigentlich versuchen zu zeigen, dass es sich oben eigentlich nur um Cauchy-Schwartz handelt. außerdem: wie kommt Cugu weiter oben auf: (vT At Av) = ||Av||^2 ? |
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30.10.2010, 23:28 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist die zugehörige Norm definiert: und , setze also . Ob das eine Sackgasse ist, lässt sich schwer sagen. Bis jetzt hast du die zu zeigende Aussage nur mehr oder weniger abgeschrieben. Was definitiv funktioniert ist auseinander zu ziehen... edit: Vergiss den Beweis mit dem ... Es geht doch ganz einfach: Benutze ganz am Anfang und , dann steht das, was du haben willst, schon fast da. |
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31.10.2010, 00:38 | Steinbock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, mit diesem Hinweis bin ich klar gekommen. Gruß Steinbock. |
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