Vektorrechnung - schiefe Pyramide

20.10.2010, 14:04

Duinne

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Vektorrechnung - schiefe Pyramide

Meine Frage:
Hallo Leute,

habe ein Problem mit einer Vektorrechnung. Hoffe, mir kann jemand bald helfen! Folgende Aufgabe:

Eine schiefe Pyramide hat das Parallelogramm ABCD als Grundfläche und den Punkt S als Spitze.
a=10, b=8 und c=6
a und b schließen einen Winkel von 60° ein, b und c einen Winkel von 90° und a und c einen solchen von 120°.

Die Kante CS soll berechnet werden. Dafür habe ich auch einen Lösungsweg, den ich nicht verstehe.

Könnte mir jemand folgenden Lösungsweg erklären?

CS = 6² + 10² + 8² - 2 x 10 x 6 x cos120° - 2 x 8 x 6 x cos90° + 2 x 10 x 8 x cos 60°
=340
CS=18,44

Vielen Dank für eure Hilfe!

Meine Ideen:
Das hängt wohl irgendwie mit dem Skalarprodukt und dem Kosinussatz zusammen aber ich habe keine Ahnung.

20.10.2010, 15:21

riwe

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b}+\overrightarrow{CS})=\vec{c} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

jetzt bestimme den betrag |CS|

20.10.2010, 16:19

Duinne

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
Mhm, dann haben wir CS=c-a-b.
darauf bin ich auch gekommen aber damit kann ich immer noch nicht die Länge CS ausrechnen.

Also, wir kommt diese Formel mit dem cosinus zu Stande?

20.10.2010, 16:23

riwe

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
draufkommen und verstehen, wozu man etwas tut, sind 2 paar schuhe. unglücklich

unglücklich

wie berechnet man denn die länge eines vektors, frage ich dich noch einmal verwirrt

verwirrt

20.10.2010, 16:33

Duinne

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
Also bis jetzt hatte ich immer zwei Seiten gegeben und einen winkel gamma.
Mit den Dingen habe ich die Länge mit dem Kosinussatz berechnet.

Jetzt habe ich drei seiten gegeben und drei winkel und versteh die welt nicht mehr...

20.10.2010, 16:49

riwe

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide

Zitat:

Original von Duinne
Also bis jetzt hatte ich immer zwei Seiten gegeben und einen winkel gamma.
Mit den Dingen habe ich die Länge mit dem Kosinussatz berechnet.

Jetzt habe ich drei seiten gegeben und drei winkel und versteh die welt nicht mehr...

verwirrt

verwirrt

verwirrt

ein vektor hat doch keine seiten geschockt

geschockt

, sondern komponenten!

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T\to|\vec{x}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \end{eqnarray*}$

also versuche den betrag |CD| zu berechnen

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20.10.2010, 16:55

Duinne

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
Entschuldige meine schlechte mathematische Sprache...

Soderle, also mit deiner Formel komme ich auf einen Betrag für CD=14,142.
Korrekt?

Allerdings kommt da bei mir eine Frage auf - ich scheine da eine ganze Menge nicht zu verstehen. Müsste CD nicht den selben Betrag wie AB haben?

Ich fange schon mal an, mich für deine Bemühungen zu bedanken *seufz*

20.10.2010, 17:03

riwe

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
wer ist den soderle Augenzwinkern

Augenzwinkern

nein, das korrekte ergebnis steht eh oben
$\begin{eqnarray*} |CS|=\sqrt{340}\neq 14.142 \end{eqnarray*}$

20.10.2010, 17:10

Duinne

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide
serderle im Sinne von also, so

Bist du eigentlich immer so wortkarg?

340 kann nicht der Betrag für cd sein, da er der Betrag für CS ist.

Kannst du mir nun erklären, wo diese Formel herkommt?

->>> CS = 6² + 10² + 8² - 2 x 10 x 6 x cos120° - 2 x 8 x 6 x cos90° + 2 x 10 x 8 x cos 60° <<<-

Oder nicht?

20.10.2010, 17:37

riwe

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RE: Vektorrechnung - schiefe Pyramide

Zitat:

Original von Duinne
serderle im Sinne von also, so

Bist du eigentlich immer so wortkarg?

340 kann nicht der Betrag für cd sein, da er der Betrag für CS ist.

Kannst du mir nun erklären, wo diese Formel herkommt?

->>> CS = 6² + 10² + 8² - 2 x 10 x 6 x cos120° - 2 x 8 x 6 x cos90° + 2 x 10 x 8 x cos 60° <<<-

Oder nicht?

naja ich mag ja wortkarg sein, aber da wir immer von CS sprachen, sollte dir klar sein, dass das ein tippfehler war, den ich oben ausgebessert habe- ausführlich genug verwirrt

verwirrt

wenn du nix konkret frägst und deine rechnung(en) nicht zeigst, ist es halt schwer, was dazu zu schreiben!
also:

blablabla...

$\begin{eqnarray*} d^2=\overrightarrow{CS}^2=(\vec{c}-\vec{a}-\vec{b})^2=a^2+b^2+c^2-2\vec{c}\cdot\vec{a}-2\vec{c}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt noch an das skalarprodukt denkst, solltest du nun alleine weiter finden.

blablabla...

20.10.2010, 17:38

Leopold

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Ich glaube, riwe hat irgendwie $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CD} \end{eqnarray*}$ geschrieben und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CS} \end{eqnarray*}$ gemeint.

Die Aufgabe ist auch nicht gerade solide formuliert, da $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ sowohl als Längen als auch als Vektoren fungieren. Man sollte hier $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ für den Vektor und $\begin{eqnarray*} \left| \vec{x} \right| \end{eqnarray*}$ für seine Länge schreiben.
Beachte die Regel

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot \vec{y} = \left| \vec{x} \right| \cdot \left| \vec{y} \right| \cdot \cos \varphi \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ den von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x}, \vec{y} \end{eqnarray*}$ eingeschlossenen Winkel bezeichne.

Jetzt zur Aufgabe. Du hattest schon

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CS} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray*}$

Jetzt quadriere diese Gleichung im Sinne des Skalarprodukts, multipliziere die rechte Seite aus ("tri"nomische Formel beachten) und verwende die oben genannte Regel.

EDIT
Nach riwes letztem Beitrag ist das Mißverständnis wohl ausgeräumt.

20.10.2010, 17:50

Duinne

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Das mit dem Skalarprodukt verstehe ich nicht. Wieso Quadrieren? Und was sagt diese Formel aus? Für was verwende ich ein Skalarprodukt?

meine Kenntnisse halten sich etwas in Grenzen, da ich mir das Thema Vektorrechnung selbst beibringen muss.
Ich bin euch auf jeden Fall sehr dankbar. Dennoch benötige ich einige Erklärungen, Mathe ist für mich definitiv nicht logisch...

Also, Skalarprodukt: Kann mir jemand, vielleicht in Bezug auf die Aufgabe, meine Fragen dazu beantworten?

-------------------------------------------------------------------------

Ich gehe nicht weiter auf das Missverständnis ein.

20.10.2010, 18:21

Leopold

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Diese Aufgabe setzt Kenntnis und Verständnis des Skalarprodukts voraus. Was das aber soll und wozu es dient, kann nicht in wenigen Zeilen erklärt werden. Da mußt du dich also erst mit der Definition, den Regeln und den Anwendungen des Skalarproduktes beschäftigen. In der Schule ist das ein Unterrichtszeitraum von mehreren Wochen, wenn nicht Monaten.

20.10.2010, 18:34

Duinne

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Mhm, ich habe mir das jetzt nochmal angeschaut. So völlig unklar ist mir das nicht. Vielleicht noch eine letzte Frage:

für alle Vektoren gilt ja

Vektor a x Vektor b = Betrag Vektor a x Betrag Vektor b x cos gamma.

Wenn ich also (c-a-b)² auflöse, dann komme ich zu der Formel, die den cos noch nicht enthält.
Dabei fällt mir nun auf, dass der cos ja immer nach dem 2 x a x b oder 2 x b x c steht. Kann man sich das einfach mit dem Kosinussatz merken? Ich meine, da sieht das ja dann genauso aus.

Vielen Dank nochmal!

20.10.2010, 18:42

riwe

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kurz und bündig:
darauf läuft es hinaus

20.10.2010, 18:52

Duinne

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Ein echter Mathemathiker =)
Danke für die schnelle Hilfe und die Bemühungen!
Wünsche noch einen schönen Abend.

Grüße
Duinne

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