Abbildungen

20.10.2010, 19:58	serpiente2	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen Meine Frage: gegeben sind 2 abbildungen f: A->B und g: B->A. 1. Zeigen Sie. Wenn g°f=id A, so ist f injektiv und g surjektiv. 2. Finde sie ein Beispiel für f,g,A,B wie oben, so das f nicht surjektiv ist. Meine Ideen: Ich brauche unbedingt Hilfe für diese Aufgabe.
20.10.2010, 21:37	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen Fangen wir mal mit der 1) an: Nimm für die Injektivität einmal an, f wäre nicht injektiv. Das heißt, für $\begin{eqnarray} (g \circ f) :=\operatorname{id}_A \end{eqnarray}$ gäbe es $\begin{eqnarray} a_1, a_2 \in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray}$ . Führe dies mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray} (g \circ f) \end{eqnarray}$ als identische Abbildung auf A ganz sicher injektiv ist, zu einem Widerspruch. Die Surjektivivtät ist relativ trivial. Nimm dir ein $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ und zeige, dass es in B ein Urbild gibt. Dazu kannst du nutzen, dass (gof) die Identität ist.

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