Surjektivität beweisen

21.10.2010, 00:34	Mondstaub	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität beweisen Hi, also, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht auf den Ansatz komme. Es sind die nat. Zahlen lN gegeben, mit einem ausgezeichneten Element 0 und einer Abbildung v: lN -> lN \ {0}. Weiters ist gegeben: 1. v ist injektiv 2. Ist N eine Teilenge von lN mit 0 Element N und der Eigenschaft, dass für alle n Element lN gilt: v(n) Element N, dann ist N=lN. Nun soll man beweisen, dass v surjektiv ist. Ich kenne die Definition von Surjektivität, aber ich weiß nicht, wie ich hier anfangen soll, da v: lN -> lN \ {0} ja durch keine Vorschrift gegeben ist...das verwirrt mich ein wenig. Kann hier jemand einen Ansatz posten oder einen Hinweis geben? Ich bin mir sicher, dass ich die Punkte 1 und 2 für den Beweis benötige.
21.10.2010, 11:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiere die Menge $\begin{eqnarray} N := \{0\} \cup v(\mathbb N) \end{eqnarray}$ und zeige, dass sie die in 2. beschriebene Eigenschaft hat.
23.10.2010, 16:09	Mondstaub	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort. Also, ich habe es mal versucht. Ich hoffe, dass ich dich richtig verstanden habe. Sei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Da für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} v(n) \in N \end{eqnarray}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray} n' \in N \end{eqnarray}$ für das gilt: $\begin{eqnarray} v(n)=n' \end{eqnarray}$ . Also, wenn $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ injektiv ist, und es für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n' \in N \end{eqnarray}$ gibt, für das gilt: $\begin{eqnarray} v(n)=n' \end{eqnarray}$ , dann ist die Abbildung bijektiv. Ist das richtig? Wenn nein, was wäre denn der richtige Ansatz?
24.10.2010, 17:24	Mondstaub	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich pushe nur ungern, aber kann mir vielleicht noch jemand eine Rückmeldung geben bzw. weiterhelfen? Folgt die Bijektivität (also auch die Surjektivität) nicht schon aus den Punkten 1 und 2?

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