Norm eines Ideals explizit berechnen

21.10.2010, 12:45

blubbb

Norm eines Ideals explizit berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich möchte die Norm eines Ideals des Ganzheitsringes $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ eines Körpers K explizit berechnen, kann mir da jemand weiterhelfen?

Die Norm eines Ideals $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ ist definiert durch:
$\begin{eqnarray*} N(\mathfrak{a}):= [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}] \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal

Meine Ideen:
Am einfachsten wäre das wahrscheinlich am Beispiel eines quadratischen Zahlkörpers $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb{Q}(\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ .
In diesem Zusammenhang bin ich allerdings bisher ausschließlich auf die Norm eines Elements des Körpers gestoßen - mir geht es aber um die Ideale!

21.10.2010, 23:11

Cugu

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Die Norm der Körpererweiterung ist möglicherweise nützlich zur Berechnung, aber es muss auch direkt gehen!

Ich nehme an, $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist eine ganze Zahl und quadratfrei.
Weißt du wie der Ganzheitsring $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb{Q}(\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ aussieht?
Was soll den $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ beispielsweise sein?

24.10.2010, 16:45

blubbb

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Ja, wie der Ganzheitsring eines quatratischen zahlkörpers aussieht, weiß ich schon.
Der Vollständigkeit zu liebe führe ich hierfür eine weitere strukturgröße eines Zahlkörpers ein, die Diskriminante $\begin{eqnarray*} \Delta_K \end{eqnarray*}$ ein.

24.10.2010, 17:12

blubbb

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Speziell für quadratische Zahhlkörper gilt:
$\begin{eqnarray*} \Delta_K= d , d\equiv 1 mod 4 \\<br /> \Delta_K=4d, d\equiv 2,3 mod 4 \end{eqnarray*}$
Und für den Ganzheitsring folgt:
$\begin{eqnarray*} \mathcal O_K= \mathbb Z[\frac{1}{2}(1+\sqrt{d})], \Delta_K \equiv 1 mod 4 \\<br /> O_K= \mathbb Z[\sqrt{d}], \Delta_K \equiv 0 mod 4 \\ \end{eqnarray*}$
Wie finde ich jetzt ein geeignetes Ideal?

24.10.2010, 19:15

Cugu

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Das ist lustig: Du willst die Norm eines Ideals ausrechnen und fragst welches du nehmen sollst. In wie fern geeignet?

Wenn es nur um das Prinzip geht, nimm doch erst einmal etwas ganz einfaches, z.B. $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ und den unteren Fall.

Was sind die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K/(2 \cdot \mathcal O_K) \end{eqnarray*}$ ?

25.10.2010, 11:38

blubbb

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Ja, mein Problem ist tatsächlich das Prinzip der Berechnung. "Geeignet" muss das Ideal sein, weil ich auf der Suche nach einem Ideal mit einer speziellen Norm bin - genaueres führt wohl zu weit. Ich denke, wenn ich das Prinzip mal verstanden habe, wird der Rest dann kein Problem mehr sein.
Also ich versuche mich mal an dem von dir vorgeschlagenen Beispiel:

Sei also $\begin{eqnarray*} \mathfrak a := 2\mathbb Z[\sqrt{d}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K := \mathbb Z[\sqrt{d}] \end{eqnarray*}$ .
Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} \mathcal O_K/\mathfrak a :=\{f+ 2\mathbb Z[\sqrt{d}]|f\in \mathbb Z[\sqrt{d}]\}= \mathcal O_K \end{eqnarray*}$
Stimmt das?
Die Norm eines Elements $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{d}\in\mathcal O_K \end{eqnarray*}$ wäre dann doch $\begin{eqnarray*} a^2-db^2 \end{eqnarray*}$ . Oder zieh ich da falsche Schlüsse? Wo ist der Zusammenhang zur Norm des Ideals? Gibt es überhaupt einen?

25.10.2010, 23:02

Cugu

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Also, $\begin{eqnarray*} a^2-db^2 \end{eqnarray*}$ müsste die Norm eines Elements $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{d}\in\mathcal O_K \end{eqnarray*}$ bezüglich der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} K/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein.
$\begin{eqnarray*} N(\mathfrak{a}):= [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]=|\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}| \end{eqnarray*}$ ist die Kardinalität des Faktorrings $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K/\mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke, so weit sind wir uns einig.
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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathcal O_K/\mathfrak a :=\{f+ 2\mathbb Z[\sqrt{d}]|f\in \mathbb Z[\sqrt{d}]\}= \mathcal O_K \end{eqnarray*}$

Die Definition ist wohl richtig, aber das zweite Gleichheitszeichen ist falsch. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K/\mathfrak a \end{eqnarray*}$ sind doch Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere ist es doch so, dass verschiedene $\begin{eqnarray*} f\in \mathbb Z[\sqrt{d}] \end{eqnarray*}$ dieselbe Menge $\begin{eqnarray*} f+ 2\mathbb Z[\sqrt{d}] \end{eqnarray*}$ repräsentieren.
Die entscheidende Frage ist also, wie viele verschiedene Mengen - also Äquivalenzklassen modulo $\begin{eqnarray*} \mathfrak a \end{eqnarray*}$ - gibt es? Das ist dann der Zusammenhang...

26.10.2010, 20:14

blubbb

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Das Gleichheitszeichen ist nicht richtig, das sehe ich ein. Zu den Äquivalenzklassen modulo $\begin{eqnarray*} \mathfrak a \end{eqnarray*}$ :
Zwei Elemente g,h aus $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ heißen äquivalent modulo $\begin{eqnarray*} \mathfrak a \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g-h\in \mathfrak a \end{eqnarray*}$ gilt. Ob dies der Fall ist, hängt davon ab, ob die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} g\in\mathcal O_K \end{eqnarray*}$ gerade, ungerade oder eine Kombination aus beiden sind.
Es resultieren 4 Äquivalenzklassen mit den Repräsentanten $\begin{eqnarray*} \overline{0} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \overline{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \overline{\sqrt{d}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{1+\sqrt{d}} \end{eqnarray*}$ .
Unsere Norm ist also 4 - stimmt das jetzt so?
Ist die Norm damit unabhängig von der Wahl von d oder ist das nur in diesem Beispiel so?
Vielen Dank schonmal!

26.10.2010, 23:22

Cugu

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Naja, hier ist die Norm unabhängig von der Wahl von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , weil der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ null ist.
Hättest du das von $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{d} \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal betrachtet, so wäre die Norm des Ideals $\begin{eqnarray*} |a^2-db^2| \end{eqnarray*}$ gewesen.
Da $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ eine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, muss man mit dem Vorzeichen aufpassen.

Man kann Folgendes zeigen:
Ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak a \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} y_1, . . . , y_n \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} \mathfrak a \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \Delta(y_1, . . . , y_n) = \Delta_K \cdot N(\mathfrak a)^2. \end{eqnarray*}$

Für Ideale der Form $\begin{eqnarray*} a \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ erhält man daraus $\begin{eqnarray*} N(a \mathcal O_K)=|N(a)| \end{eqnarray*}$ , wobei auf der rechten Seite die Norm von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bezüglich der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} K/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ steht.
In unserem Fall war beides $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Auf der einen Seite $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ Äquivalenzklassen auf der anderen $\begin{eqnarray*} 2^2=4 \end{eqnarray*}$ .

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Die erste Aussage erhält man, da $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K/\mathfrak a \cong \mathbb Z/c_1\times ... \times \mathbb Z/c_n \end{eqnarray*}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1x_1,...,c_nx_n \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathfrak a \end{eqnarray*}$ ist.

Um das zweite zu zeigen benutzt man insbesondere die Formel $\begin{eqnarray*} N(a) = \prod_{i = 1}^{n} \sigma_{i} (a) \end{eqnarray*}$ .
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_%28K%C...rerweiterung%29)
Diese liefert den entscheidenden Zusammenhang zur Diskriminante $\begin{eqnarray*} \Delta(y_1, . . . , y_n) = \det(\sigma_i(y_j))^2 \end{eqnarray*}$ .
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