Wurzel einer komplexen Zahl

Neue Frage »

21.10.2010, 17:08	Ernsti	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel einer komplexen Zahl Meine Frage: Hi Leute. Seit neuem behandeln wir den Bereich komplexe Zahlen. Zu lösen ist folgende Gleichung: z2+6z+9+2i=0 Ich löse die aufgabe soweit bis ich auf Z1\|2=-3± wurzel aus(-2i) komme Ich habe aber keine Anung wie ich die Wurzel löse. Überall steht man aoll das mit der Regel von Moivre lösen. Habe aber keine Ahnung wie das geht. Kann mir einer helfen? schonmal danke im vorraus Meine Ideen: habw wirklich keinen schimmer wie ich da ran gehen soll.
21.10.2010, 18:07	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich gehe mal davon aus, dass du bis hierhin richtig gerechnet hast. Du bist ja schon fast am Ziel. Erinnere dich daran wie die imaginäre Einheit i definiert ist. Du hast: $\begin{eqnarray} z=-3\pm \sqrt{-2i} \end{eqnarray}$ Betrachte nun den Wurzelausdruck: $\begin{eqnarray} \sqrt{-2i}=\sqrt{-i}\sqrt{2}=\sqrt{-1}\sqrt{i}\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Jetzt benutzt du noch die Definition von i und vereinfachst das noch ein wenig, dann bist du fertig. Ich denke den Schritt schaffst du noch alleine. Solltest du Probleme haben, melde dich einfach. Liebe Grüße evelyn
21.10.2010, 19:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte nicht immer wurzeln aus negativen zahlen... am einfachsten ist es, wir betrachten die zahl $\begin{eqnarray} i \sqrt{2i} \end{eqnarray}$ . und davon den teil 2i, bringe diesen auf exponentialform und multipliziere den exponenten mit 1/2, danach wieder in die kartesische form bringen und mit i multiplizieren, dann +/- -3 und du hast deine komplexe zahl. wenn du evelyns tip weiter verfolgst musst du die gleichung $\begin{eqnarray} (a+bi)^2=i^22i=-2i \end{eqnarray}$ lösen und real und imaginärteil vergleichen, die einfachste und eleganteste variante ist wirklich über die exponentialdarstellung.
21.10.2010, 19:39	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
@Igrizu: Die Lösung steht ja eigentlich schon da. Ich weiß nicht, ob der Fragesteller die Exponentialform von komplexen Zahlen hatte. Oben steht ja $\begin{eqnarray} \sqrt{-1}\sqrt{i}\sqrt{2}=i\sqrt{i}\sqrt{2}=i^{3/2}\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Fertig! Liebe Grüße!
21.10.2010, 22:12	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
@evelyn: ich hab dir dazu ne pn geschickt, ich sehe nicht, wie du das jetzt lösen willst bzw. auf die form a+bi bringen willst. @ernsti: wie gesagt ist die eleganteste lösung über die exponentialdarstellung, ich sehe nicht, wie das, was evelyn vorschlägt zu einer lösung führt (kann mich aber auch täuschen), aber auch vergleich von real und imaginärteil von $\begin{eqnarray} (a+bi)^2=-2i \end{eqnarray}$ führt zu der richtigen lösung.
21.10.2010, 23:10	ernsti	Auf diesen Beitrag antworten »
von exponentialform habe ich schonmal was gehört aber nur ansatzweise. wenn ich (a+bi)^2 vereinfache kommt man ja auf a^2+2abi-b^2=-2i bloß weis ich jetz nicht wie ich real und imaginär teil bestimme. ist sicherlich ganz einfach aber irgendwie komme ich nicht drauf
Anzeige

21.10.2010, 23:13	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
a^2+2abi-b^2=-2i, das ist richtig. jetzt schreiben wir das ganze mal etwas anders hin: $\begin{eqnarray} (a^2-b^2)+(2ab)i=-2i \end{eqnarray}$ . erkennst du real und imaginärteil auf der linken seite?
24.10.2010, 16:05	ernsti	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht wirklich bei z=a+bi ist ja a der real und b der imaginäteil. aber irgendwie weis ich das hier nicht anzuwenden
24.10.2010, 16:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ja, der realteil ist (a²-b²), der imaginärteil ist 2ab. nun ist a²-b²=0, denn der realteil von -2i ist 0, und 2ab=-2, denn der imaginärteil ist -2. jetzt kann man das lösen. das problem bei dieser variante ist, dass man zwei lösungen für a und b bekommt, aufgrund der quadrate. ich mache dir, wenn du das gelöst hast mal den lösungsweg mit der exponentialdarstellung vor.
24.10.2010, 18:30	ernsti	Auf diesen Beitrag antworten »
also als zwischenlösung hab ich jetzt a=1 b=-1 oder umgekehrt. das heist ich bekomme dan raus für die wurzel 1-i oder -1+i als Endlösung hab ich z1=-2-2 und z2=-4-i
24.10.2010, 20:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, jetzt geb ich dir die lösung, bist du mit der exponentialdarstellung von komplexen zahlen ein wenig vertraut? nun ist zuerst einmal \|-2i\|=2, also ist: $\begin{eqnarray} 2 \exp(i \phi)=2( \cos \phi + i \sin \phi)=-2i \Rightarrow \cos \phi =0,~ \sin \phi =-1 \Rightarrow \phi = \frac{3 \pi }{2} \end{eqnarray}$ . nun ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2 \exp(i \frac{3 \pi }{2})}=\sqrt{2} \exp(i \frac{3 \pi }{2}\cdot \frac{1}{2})=\sqrt{2} \exp(i \frac{3 \pi }{4})=\sqrt{2}( \cos( \frac{3 \pi }{4})+i \sin ( \frac{3 \pi }{4}))=-1+i \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Wurzel einer komplexen Zahl

Verwandte Themen