Wegintegral längs eines Parabelbogens

21.10.2010, 21:05

Oxtailsoup

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Wegintegral längs eines Parabelbogens

Meine Frage:
Hallo ich sitze hier an folgender Aufgabe:

Berechnen Sie das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int \! (\sqrt{y}dx - \sqrt{x}dy) \ \end{eqnarray*}$ längs des Parabelbogens $\begin{eqnarray*} y^{2}=2px \end{eqnarray*}$ vom Scheitel bis zum Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$

Und ich hab überhaupt keine Idee an die Rangehensweise. Entweder steh ich aufm Schlauch oder ich machs mir schwerer als es ist smile

smile

Meine Ideen:
leider keine... ich kann alles nicht richtig einordnen

21.10.2010, 22:35

Lampe16

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RE: Wegintegral längs eines Parabelbogens

Zitat:

Original von Oxtailsoup
Meine Ideen:
leider keine... ich kann alles nicht richtig einordnen

Hallo Oxtailsoup,
ich rate Dir als kleine Vorübung, vor der formalen Integration folgende Frage zu klären:

Stell Dir vor, für $\begin{eqnarray*} {}^p \end{eqnarray*}$ und den Punkt $\begin{eqnarray*} {}^{(x,y)} \end{eqnarray*}$ seinen Zahlenwerte gegeben. Wie sieht dann die schlichte Summennäherung für die beiden Integrale aus, d.h. wo liegen die Integrationselemente und mit welchen Werten sind sie zu multiplizieren, damit die beiden Produktsummen die beiden Integrale annähern.

Wenn Du davon eine Vorstellung hast, wirst Du wahrscheinlich auch richtig integrieren können.

21.10.2010, 22:43

Oxtailsoup

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Nunja ich versteh anscheinend das Integral schon nicht.

wie ist das mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x} dy \end{eqnarray*}$ gemeint?

21.10.2010, 23:32

Lampe16

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b\sqrt{y} dx \end{eqnarray*}$ bedeutet grob:
Teile den Bereich von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse in Abschnitte $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ ein. Deren Summe ist gleich $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ . Suche zu den den einzelnen $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte auf, bilde $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ und Summiere die Produkte $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} dx \end{eqnarray*}$ auf. Die Summe ist dann ungefähr gleich dem Integral. Jetzt mach das nochmal durch richtige Integration, wobei Du die Abhängigkeit $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einbringst.

edit: Schau Dir nochmal an, was im Mathebuch unter "bestimmtes Integral" ganz am Anfang steht.

Für heute gute Nacht!

22.10.2010, 06:49

Lampe16

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Nachtrag
Zum Verständnis der Aufgabe kann es Dir helfen, sie gemäß
$\begin{eqnarray*} L=\int_{Wegkurve}\vec v(x,y)d\vec s \end{eqnarray*}$
vektoriell zu formulieren.
Die Wegkurve ist dann der erwähnte Parabelbogen,
$\begin{eqnarray*} d\vec s = \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das vektorielle Linienelement und
$\begin{eqnarray*} \vec v(x,y) \end{eqnarray*}$ ein Vektor, z.B. ein Kraftfeld. (L wäre dann die mechanische Energie, die das Kraftfeld einem Objekt zufügt, das vom Anfangs- zum Endpunkt der Wegkurve verschoben wird.)
Für
$\begin{eqnarray*} \vec v(x,y)d\vec s \end{eqnarray*}$
gelten die Regeln des Skalarprodukts.
Die Wegkurve kannst Du Dir auch als Treppenbahn vom Anfang zum Ende der Wegkurve vorstellen. Durch Bildung des Skalarprodukts
$\begin{eqnarray*} \vec v(x,y)d\vec s \end{eqnarray*}$
aus seinen Koordinaten kommst Du wieder zu der gegebenen Aufgabensellung zurück.

Mit dieser Vorstellung kannst Du erkennen, welche Funktionen Du in welchen Grenzen integrieren sollst.

Apropos Treppenbahn: Wenn die Stufen klein genug sind, ist die Bahn glatt.

22.10.2010, 09:28

Oxtailsoup

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du meinst also ich geh einmal die x-Achse entlang und integriere das $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{2px} \end{eqnarray*}$ ist und dann integriere ich entlang der y-Achse das $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x = \frac{y^{2}}{2p} \end{eqnarray*}$ ist. oder was? dann die Summe von beiden?

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22.10.2010, 11:22

Lampe16

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Ja, genau!
Die Achsen entlang gehst Du aber nur von der jeweiligen Anfangspunkt- zur Endpunktkoordinate der Kurve.
Und benenne die Integrationsvariablen vorsichtshalber in $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ um, damit Du nicht mit den Grenzen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durcheinander kommst.

22.10.2010, 11:57

Ehos

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Aus physikalischer Sicht sollst du die mechanische Arbeit W entlang einer Parabel berechnen, wenn entlang dieser Parabel der Kraftvektor $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ wirkt. Das ist folgendes Integral gemäß "Arbeit=Kraft mal Weg"

$\begin{eqnarray*} W=\int_a^b \! \vec F \, d \vec x = \int_a^b \! \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(1)

Man integriert also über das Skalarprodukt zweier Vektoren. Das Kraftfeld lautet in deinem Falle

$\begin{eqnarray*} \vec F=\begin{pmatrix} F_x \\ F_y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt{y} \\ -\sqrt{x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(2)

Die Kurve hat die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ \sqrt{2px} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(3)

Das Differential dieser Kurve, das man in (1) benötigt, ergibt sich durch Ableiten von (3) nach x, also

$\begin{eqnarray*} d\vec x=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} dx \\ \frac{p}{\sqrt{2px}} dx\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{p}{\sqrt{2px}} \end{pmatrix} \,\,dx \end{eqnarray*}$ __________(4)

Einsetzen von (3) in (2) und anschließend von (2) und (4) in (1) liefert das "handgerechte" Integral

$\begin{eqnarray*} W= \int_0^x \! \begin{pmatrix} \sqrt [4] {2px} \\ -\sqrt{x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{p}{\sqrt{2px}} \end{pmatrix} dx \end{eqnarray*}$ __________(5)

Der Integrand ist ein einfaches Skalarprodukt, das man ausmultiplizieren muss. Dann hat man ein "normales" Integral mit der Integrationsvariablen x (wie in der Schule). Das Integrationsintervall [0|x] wurde beginnend vom Scheitel x=0 gewählt.

$\begin{eqnarray*} W= \int_0^x \! \left ( \sqrt [4] {2px}-\frac{p}{\sqrt{2p}} \right ) dx \end{eqnarray*}$ __________(6)

Dieses Integral ist einfacht zu berechnen, wenn man die Sache noch etwas vereinfacht.

22.10.2010, 12:12

Oxtailsoup

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Wenn ich so rechne wie ich es jetz von Lampe16 verstanden hab, komm ich am Ende auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}\sqrt[4]{2px^{5}} - \frac{px}{\sqrt{2p}} \end{eqnarray*}$

Dast ist ja auch dem was du Ehos in deiner letzten Zeile hast sehr ähnlich.

Ich vermute mal das beide Wege richtig sind oder? Deinen Ehos versteh ich aber irgendwie besser.

Jedenfalls ist das dann jetz wohl das Ergebnis? Und je nach dem zu welchem Punkt man will setzt man die x-Koordinate ein?
Was ist das jetz eigentlich? Die Länge der Kurve bis zu dem Punkt?

22.10.2010, 12:24

Lampe16

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Zitat:

Original von Oxtailsoup
... x-Koordinate...
Was ist das jetzt eigentlich? Die Länge der Kurve bis zu dem Punkt?

Nein, x ist einfach die x-Koordinate des Wegendpunkts oder- anders ausgedrückt - die Länge des auf die x-Achse projizierten Wegs.

22.10.2010, 12:27

Oxtailsoup

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schon klar ich meinte was gibt uns das integral? ist das die länge des weges auf der Kurve? nein, oder? für 1 kommt ja z.b. 0 raus....

22.10.2010, 12:34

Lampe16

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Zitat:

Original von Oxtailsoup
schon klar ich meinte was gibt uns das integral? ....

Das Integral kannst Du als Arbeit deuten, wenn Du unter den in der Aufgabenstellung gegebenen Integranden Kräfte verstehst - wie in den Beiträgen von Ehos oder von mir vorgeschlagen

22.10.2010, 12:48

Ehos

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Die beiden Ergebnisse, die wir auf verschiedenen Wegen erhalten haben, stimmen exakt überein.

Man kann dasIntegrals als diejenigen mechanische Arbeit deuten, die ein Käfer verrichten muss, wenn er beginnend vom Scheitelpunkt der Parabel bis zu irgendeinem Punkt (x|y) entlang krabbelt entgegen einem Kraftfeld F (z.B. entgegen dem Wind).

22.10.2010, 13:52

Lampe16

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Das ist eine sehr anschauliche Erklärung. Sie suggeriert allerdings, dass die Arbeit positiv herauskommt, wenn der Käfer gegen den Wind krabbelt. Dann ist sie aber negativ. Deshalb würde ich lieber sagen:

Man kann das Integral als die mechanische Arbeit deuten, die ein Kraftfeld an einem Objekt verrichtet, wenn das Objekt auf einer bestimmten Route vom Weganfangspunkt zum Wegendpunkt geführt wird.

Das Objekt kann z.B. ein krabbelnder Käfer sein und das Kraftfeld vom Wind geliefert werden. Die Führung übernimmt hier der Käfer selbst

22.10.2010, 14:40

Ehos

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@Lampe16
Wenn der Käfer gegen den Wind krabbelt könnte man sagen, der Käfer verrichtet Arbeit (positiv). Anderseits könnte man auch sagen, das Windfeld verliert an den Käfer Energie (negativ). Das ist also eine Frage des Standpunktes und letztlich eine Frage der Definition. Entscheidend ist, dass sich beim "Krabbeln" des Käfers in die entgegengesetzte auch das Vorzeichen umkehren muss.

Es ist wie beim Geld: Was für den einen Einnahmen sind, sind aus Sicht des Anderen Ausgaben.

22.10.2010, 14:51

Lampe16

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Einverstanden!
Ich versuche einfach, in der sprachlichen Erklärung des vorgegebenen Integrals seine Vorzeichenbedeutung mit festzulegen, so dass man keine Wahl der Sicht mehr hat.

24.10.2010, 14:10

Jebus_666

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Zitat:

Wenn ich so rechne wie ich es jetz von Lampe16 verstanden hab, komm ich am Ende auf: $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}\sqrt[4]{2px^{5}} - \frac{px}{\sqrt{2p}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die beiden Ergebnisse, die wir auf verschiedenen Wegen erhalten haben, stimmen exakt überein.

Fail

LOL Hammer

da fehlt noch der innere Ausdruck. (lineare Substitution...)

So müssts lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5p}\sqrt[4]{2px^{5}} - \frac{px}{\sqrt{2p}} \end{eqnarray*}$

bzw. vereinfacht

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5p}\sqrt[4]{2px^{5}} - \sqrt{\frac{p}{2}}x \end{eqnarray*}$

24.10.2010, 14:15

Jebus_666

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Ah mist, schon wieder ein fehler. In Wirklichkeit natürlich so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5p}\sqrt[4]{(2px)^{5}} - \sqrt{\frac{p}{2}}x \end{eqnarray*}$

sonst gibts keine Punkte vom Imhof.
Haha.

24.10.2010, 14:54

Oxtailsoup

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mh nicht so ganz smile

smile

also deins ist schon richtig aber meins auch weil ich unter der Klammer nur beim x das hoch 5 hab smile

smile

dein hoch 5 bei (2p) hab ich schon mit dem vor der Klammer verrechnet smile

smile

24.10.2010, 16:39

Jebus_666

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Ja klar hast Recht.
und deine Lösung ist auch noch schöner als meine. traurig

traurig

Augenzwinkern

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