Äquivalenzklasse

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Äquivalenzklasse
Hallo, ich habe noch nicht verstanden wie man Äquivalenzklassen bildet.
Es geht um folgende Aufgabe:
Prüfen Sie nach, ob die angegebenen Relationen ~ Äquivalenz- bzw. Ordungsrelationen sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen:
a) Seien U,V Mengen und f:U-->V eine Abbildung. Für gelte

Gemacht habe ich bisher folgendes:
Reflexivität: x~x bedeutet f(x)=f(x), was immer wahr ist
Symmetrie: x~y impliziert y~x, weil f(x)=f(y) und f(y)=f(x) immer gleichzeitig stimmen
Transitivität: aus x~y und y~z folgt x~z, weil f(x)=f(y) und f(y)=f(z), durch gleichsetzen kommt man auf f(x)=f(z)

Es liegt eine Äquivalenzrelation vor, weil ~ sowohl reflexiv, symmetrisch, als auch transitiv ist.


Wie bilde ich nun Äquivalenzklassen?

Danke schonmal
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Der einfachste Fall, wäre doch wenn und für gerade und für ungerade ist.

Wann sind dann und zueinander äquivalent? Was wären in dem Fall die Äquivalenzklassen?

-------

Wenn man das weiß, kann man sich leicht überlegen, wie man das auf beliebige Funktionen und Definitionsmengen verallgemeinern kann.
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

in dem Fall wären x und y immer dann zueinander äquivalent, wenn beide gerade oder beide ungerade wären und die äquivalenzklassen wären [0]= {...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...} und [1]={...,-5,-3,-1,1,3,5,...}

Aber klick macht es immernoch nicht bei mir. Für bestimmte Funktionen kriege ich es schon hin, aber ich habe keinen Schimmer, wie ich das verallgemeinern soll :/
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist doch schon einmal gut.
Wie kannst du denn und in diesem Fall noch schreiben? Ich denke da so am Begriffe wie Bild, Urbild etc.
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Naja, das ist doch schon einmal gut.
Wie kannst du denn und in diesem Fall noch schreiben? Ich denke da so am Begriffe wie Bild, Urbild etc.


Ich habe erst letze Woche angefangen mit meinem Studium. Auf Bilder sind wir noch nicht sehr genau eingegangen.
Bisher hatte ich es so verstanden, dass Äquivalenzklassen Teilmengen von in dem Beispiel oder eben allgemein von U sind.
Das Bild ist im Beispiel V. V=0 für alle geraden Zahlen und V=1 für alle ungeraden Zahlen
Die Elemente in [0] und [1] sind dann wahrscheinlich das Urbild.

Finde es übrigens toll, wie schnell hier geantwortet wird
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Urbild von ist die Menge aller für die gilt.
In Zeichen heißt das .

Was ist das Urbild von , was ist das Urbild von in unserem Fall?

Zitat:
und für gerade und für ungerade ist.
 
 
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Menge der geraden Zahlen
Menge der ungeraden Zahlen
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! So, was hat das überhaupt mit unseren Äquivalenzklassen zu tun? Ach ja, das waren unsere Äquivalenzklassen.
Wir erhalten also (in diesem Fall) unsere Äquivalenzklassen, wenn wir uns für ansehen!

---------

Wie ist das nun allgemein?
Seien Mengen und eine Abbildung. Für gelte .

Nehmen wir einmal . Ist nun eine Äquivalenzklasse?
Frage 1: Sind die Elemente aus äquivalent?
Frage 2: Sind und für wirklich disjunkt?

----------
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Nehmen wir einmal . Ist nun eine Äquivalenzklasse?
Frage 1: Sind die Elemente aus äquivalent?
Frage 2: Sind und für wirklich disjunkt?
----------


Zu Frage 1: Da für die Elemente aus dasselbe f(x) rauskommt müssen die äquivalent sein. Das ist ja ihre Bedingung

Zu Frage 2: disjunkt heißt ja leere Menge

Wären sie nicht disjunkt, dann wären sie in der gleichen Äquivalenzklasse, also scheint das die Preisfrage zu sein ^^

Kommen wir noch einmal zum Beispiel zurück.
leere Menge
Die sind disjukt

Wenn man es allerdings so allgemein formuliert wie du vorhin existiert nur eine Äquivalenzklasse:

.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es existieren so viele Äquivalenzklassen wie die Anzahl der Elemente von f(U), d.h. |f(U)|.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn man es allerdings so allgemein formuliert wie du vorhin existiert nur eine Äquivalenzklasse:

Nein! Warum?

----------

Wären sie nicht disjunkt, so gäbe es .
Folglich wäre nach Definition des Urbilds sowohl als auch .

----------

So nächte Fragen:
Frage 1: Sind die Mengen alle nicht leer? Was muss dazu für gelten?
Frage 2: Wenn man über alle vereinigt, gilt dann ?
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort 1: ist dann leer, wenn dass spezifische v nicht abgebildet wird(z.B. Definitionslücke)

Antwort 2: Da für das in die Funktion eingesetzte x rauskommt müsste gelten
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss schlafen.
ich schau morgen früh nochmal rein, aber ein bisschen habe ich nun schon verstanden.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege noch einmal, ob in der Definitionsmenge oder in der Zielmenge liegt!

Und dann überprüfe noch einmal:
Zitat:
Antwort 1: ist dann leer, wenn dass spezifische v nicht abgebildet wird(z.B. Definitionslücke)
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

liegt in der Zielmenge, weil U auf V abgebildet wird. Die Definitionmenge ist U.
Also wird jedes v abgebildet.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz so richtig, v wird nicht abgebildet, sondern ist ein mögliches Bild.
Beispiel: Bei der Funktion wird die 3 auf die 9 abgebildet. u=3 und v=9
Was ist hier und was ist z.B. ?

Jetzt ist die Frage: Was muss für ein Element der Zielmenge gelten, dass die Menge seiner Urbilder nicht leer ist?
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gerne eher geantwortet, aber ich war gestern gar nicht mehr am Computer.





Weil es sich um reele und nicht um komplexe Zahlen handelt.

Also ist die Regel, dass für die Urbilder keine geraden Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden dürfen.

Die Elemente der Zielmenge müssen also alle durch die Abbildung abgebildet werden.

Die Abbildung muss surjektiv sein.
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich die Übung morgen abgeben muss, wäre es nett, wenn sich nocheinmal jemand erbarmen könnte. Augenzwinkern
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Änfänger
Die Elemente der Zielmenge müssen also alle durch die Abbildung abgebildet werden.

Richtige Überlegung, falsche Formulierung. Sie müssen alle angenommen werden. Bilder werden angenommen und Urbilder abgebildet.

Zitat:
Original von Änfänger
Die Abbildung muss surjektiv sein.
Richtige Überlegung, richtige Formulierung smile
In mathematischer Schreibweise dann:
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Gut zu wissen Augenzwinkern Werde ich mir merken mit der Formulierung

Also kann ich Äquivalenzklassen nur allgemein definieren, wenn die Abbildung surjektiv ist oder geht es noch allgemeiner? Wenn nein, könnte ich die Aufgabe ja dann jetzt bearbeiten smile
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich das so schreiben? Mir läuft so langsam die Zeit weg
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Äquivalenzklasse ist das Urbild mit . Damit ist insbesondere nicht-leer.

muss nicht surjektiv sein. Die leeren Urbilder werden einfach ignoriert, sollte nicht surjektiv sein, d.h. .
Du nimmst nur die .
Änfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön,
finde dieses Forum super. Finde es vor allem gut, dass nur Hilfestellungen geboten werden. Werde mich auf jeden Fall anmelden.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine Äquivalenzklasse ist das Urbild mit .


Die Begründung ist kurz gesagt folgende ist eine Zerlegung von , d.h. die Mengen sind nicht-leer, disjunkt und ergeben zusammen den ganzen Raum.
Außerdem sind Elemente aus genau dann zueinander äquivalent, wenn sie in derselben Menge liegen. Das alles hatten wir uns mehr oder weniger überlegt.

Daher muss die Familie bzw. das Mengensystem der Äquivalenzklassen sein.
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