Beweis von Teilmengen

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22.10.2010, 10:18	Sabrina1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Teilmengen Ich bin neu hier.. hoffe das mit LaTeX geht.. also erst mal die Aufgabe: Man zeige: $\begin{eqnarray} A \subseteq B \subseteq C \end{eqnarray}$ gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray} A \cup B = B \cap C \end{eqnarray}$ Dann hab ich mir erstmal versucht das in Worten vorzustellen, um es dann beweisen zu können... Ist ein Element in A oder B sowie in B und C, dann ist A c B c C Doch wie kann man dazu einen Beweis erstellen? Ich weiß, dass man meistens beginnt mit: Sei x element von A... Ich hab irgendwie das Prinzip der Mengenbeweise nicht verstanden... Kann mir jemand Schritt für Schritt helfen?
22.10.2010, 12:04	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Teilmengen Gleichheiten von Mengen zeigt man meistens, indem man (in diesem Fall) $\begin{eqnarray} A \cup B \subseteq B \cap C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \cap C \subseteq A \cup B \end{eqnarray}$ zeigt. Für $\begin{eqnarray} A \cup B \subseteq B \cap C \end{eqnarray}$ nimmst du ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \end{eqnarray}$ und zeigst, daß dann auch $\begin{eqnarray} x \in B \cap C \end{eqnarray}$ ist.
22.10.2010, 14:06	Sabrina1990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Teilmengen Nun gut.. versuch ichs mal.. Sei $\begin{eqnarray} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} A \subseteq B \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in B \end{eqnarray}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray} x \in C \end{eqnarray}$ . Ist das logisch? Ich weiß nicht wie man logisch so etwas darstellt. Auch nicht, wie es mathematisch korrekt ist... Ist das dort oben akzeptabel? Vielen Dank schon mal für den Denkanstoß!
22.10.2010, 14:31	org	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Teilmengen Das ist zwar mathematisch korrekt, aber Thema verfehlt. Du sollst doch was anderes zeigen. NImm z.B. klarsoweits Ansatz
22.10.2010, 14:38	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zwar logisch, bringt dich aber keinen Schritt weiter. Du hast letztlich überhaupt nichts gezeigt, sondern nur die Voraussetzung anders aufgeschrieben. Wie wäre es mit einem Widerspruchsbeweis? Angenommen $\begin{eqnarray} A\subseteq B\subseteq C \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} x \notin B \cap C \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ , daher nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} x \in C \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} x \notin B \cap C \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x \notin B \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \notin C \end{eqnarray}$ . Führe das nun zu einem Widerspruch und du hast die erste Richtung bewiesen.
22.10.2010, 14:41	Sabrina1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte eigentlich das ich das getan hätte Könntet ihr mir das vielleicht für $\begin{eqnarray} A \cup B \subsetec B \cap C \end{eqnarray}$ Schritt für Schritt sagen und erklären wie man auf die Schlussfolgerungen kommt, und ich versuch mich dann analog an dem Beweis für den zweiten Teil ( $\begin{eqnarray} B \cap C \subsetec A \cup B \end{eqnarray}$ ? Dann würde ich vielleicht die Sache an sich verstehen..
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22.10.2010, 14:50	Sabrina1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist, da hats wohl nicht geklappt mit LaTeX... aber hier hab ich noch eine Lösungsidee... $\begin{eqnarray} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in B \Rightarrow x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z \in C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cup B \Rightarrow x \cup xy \Rightarrow xy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B \cap C \Rightarrow xy \cap xyz \Rightarrow xy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xy = xy \end{eqnarray}$
22.10.2010, 14:55	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
??? Was sollen denn $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} xyz \end{eqnarray}$ bedeuten? Du hast es hier mit Elementen aus irgendeiner beliebigen Menge zu tun. Du kannst doch die Elemente nicht einfach verknüpfen!
22.10.2010, 14:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das denn mit dem y? Nochmal von vorn. Nimm ein $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \end{eqnarray}$ . Was gilt dann? In welchen Mengen kann das x liegen?

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