Sind diese beiden Differentialgleichungen identisch?

22.10.2010, 11:42	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind diese beiden Differentialgleichungen identisch? Hallo, ist folgende Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} \frac{\partial{T}}{\partial{t}}=a(\frac{\partial^2{T}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{T}}{\partial{r}}) \end{eqnarray}$ dieser Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} \frac{\partial{T}}{\partial{t}}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial{r}}(ra\frac{\partial{T}}{\partial{r}}) \end{eqnarray}$ gleich? Ich habe gerade Probleme mit dem Umstellen, da die erste Gleichung (wenn ausmultipliziert) aus einem Summe besteht, die zweite jedoch nur ein Produkt ist... Danke schon mal für eure Hilfe! Grüße
22.10.2010, 11:48	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind diese beiden Differentialgleichungen identisch? Wenn a unabhängig von r, also konstant ist, stimmt die Aequivalenz (aufgrund der Produktregel).
22.10.2010, 12:02	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind diese beiden Differentialgleichungen identisch? Hallo wisili, erstmal danke für deine Antwort. Ja, r ist der Radius in Zylinderkoordinaten und a ist die Temperaturleitfähigkeit. D.h. r sollte von a abhängig sein?? Leider kann ich es nicht ganz nachvollziehen. Kannst du es (schrittweise) darstellen? Danke nochmals! Grüße
22.10.2010, 14:37	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind diese beiden Differentialgleichungen identisch? Mit der Produktregel folgt aus der zweiten Beziehung: $\begin{eqnarray} \frac{\partial{T}}{\partial{t}}=\frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial{r}}(r a) \cdot \frac{\partial{T}}{\partial{r}} + (r a) \cdot \frac{\partial}{\partial{r}} \frac{\partial{T}}{\partial{r}})\right) \end{eqnarray}$ Mit a als Konstante folgt weiter: $\begin{eqnarray} \frac{\partial{T}}{\partial{t}}=\frac{1}{r} \left(a \cdot \frac{\partial{T}}{\partial{r}} + r a \cdot \frac{\partial^2{T}}{\partial{r^2}}\right) \end{eqnarray}$ und damit die erste Beziehung.
23.10.2010, 14:57	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise wird die Produktregel doch angewandt, um das Produkt zweier Funktionen abzuleiten. D.h. du hast die zweite Beziehung mit der Produktregel abgeleitet und erhälst nach ertwas Umstellung die erste Beziehung. Im Endefekt heißt das aber doch wiederum, dass die erste Beziehung die Ableitung von der zweiten Beziehung ist?
23.10.2010, 15:05	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Produktregel auf die bereits geschriebene Ableitung angewandt. Die beiden Gleichungen sind also äquivalent.
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