abelscher Gruppe |
| 22.10.2010, 19:56 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
| abelscher Gruppe Man beweise dass eine Gruppe mit höchstens 5 Elementen abelsch ist . Meine Ideen: Mein Gedanke war dass wenn man von einer Gruppe ausgeht G{e,x,y,z,v} man dann beweisen kann dass sie abelsch ist wenn man zeigt dass die annahme die Gruppe sei nicht kommutativ zu einem Widerspruch führt. Geht man davon aus x*y=z so darf demnach y*z nicht gleich z sein ist also beispielsweise y*x=v . Alle weiteren Verknüpfungen von einem beliebigen E von G mit x oder y dürfen demnach nicht =z oder = v sein ,da sich sonst beispielweise für x*z=v und y*x=v zeigen lässt dass x*z=y*x => z=y was ein Widerspruch wäre da die gruppe aber nur 5 elemente enthällt kommt es so meiner meinung nach zwangsläufig zu einem Widerspruch Frage an alle lässt sich so der indirekte Beweis formulieren? |
||
| 22.10.2010, 20:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gruppe der Ordnung 1: trivial. Gruppen von Primzahlordnung (2,3,5) : betrachte Elementordnung. Gruppen der Ordnung 4: betrachte die möglichen Isomorphietypen. |
||
| 23.10.2010, 11:53 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie hatten z.B zyklische Gruppen uind ihre Eigenschaften noch nicht in der Vorlesung daher weiß ich leider nicht was die Eigenschaften von Gruppen mit primzahl Ordnung sind aber unser Prof. meinte die Aufgabe sei deutlich einfacher mit einem indirekten Beweis zu lösen. Ist mein Beweis für 5 ok oder eher schwachsinn ^^ und andere Frage wie finde ich denn die Isomorphietypen einer Gruppe? |
||
| 23.10.2010, 12:22 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du den Satz von Lagrange schon kennst, würde ich den von Elvis vorgeschlagenen Weg fortführen. Sonst könnte man mal versuchen etwas elementarer zu argumentieren. Du hast also 5 Elemente e,a,b,c,d. Nun betrachten wir mal ab und ba. Klar ist, dass bei beiden nicht a oder b rauskommen kann, denn sonst wär ja eines von beiden das neutrale Element. Weiterhin ist klar, wenn ab=e gilt, dann gilt auch ba=e. Also ist die einzige Möglichkeit, wenn a und b nicht kommutieren sollen: ab=c und ba=d, mehr Elemente bleiben ja nicht übrig. Gibt es weniger als 5 Elemente ist hier schon klar, dass die Gruppe kommutativ sein muss. Im Falle von 5 Elementen muss man halt noch etwas weiter argumentieren. |
||
| 23.10.2010, 12:28 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
hallo, nein dieser Satz ist mir noch unbekannt könnte ich also so argumentieren: 1.)Hat ein beliebiges paar a*b eine Lösung X mit x beliebiges Element der 5 elementigen Menge G so darf eine Verknüpfung eines Elements dieses Paars ( also entweder a oder b) mit einem beliebigen Element von G nicht dieselbe Lösung X haben ( sonst kann man ja zeigen dass zB a*b=z und y*a=z => a*b=y*a => b=y also ein Widerspruch zu der Annahme G hat 5 Elemente) 2.)Geht man nun davon aus dass die Gruppe nicht abelsch ist gibt es insgesamt 6 Verknüpungen von einem Element mit beliebigen anderen Elementen (lässt man die mit dem neutralen und die mit sich selbst aus ) da G nicht abelsch ist haben demnach a*b und b*a unterschiedliche Lösungen . Für alle weiteren Verknüpfungen von a bzw. b ( also jeweils 4 ) dürfen die Lösungen von a*b und b*a nach 1.) also nciht mehr verwendet werden . Somit gibt es für die 4 Verknüpfungen nur noch 5-2=3 Lösungen dh. es kommt zwangsläufig zu einer "Doppelbelegung" bzw einem Widerspruch wie in 1.) ausgeschlossen => Widerspruch Oder hab ich vielleicht was übersehen was sehr gut möglich wäre ? |
||
| 23.10.2010, 16:12 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Fehler in diesem Argument liegt darin, dass aus nicht folgt, wenn die Gruppe nicht kommutativ ist. Nur aus würde es folgen. Desweiteren wären ja "Doppelbelegungen" nicht schlimm, wenn sie etwa so auftreten: . Kann ja durchaus sein, dass a und d kommutieren, a und b aber nicht. Das ist ja alles nicht ausgeschlossen. Verfolge mal meinen Ansatz. Wir nehmen an a und b kommutieren nicht, also gilt und . Nun zeige, dass c und d nicht die Inversen zu a sein können, also ist a zwangsläufig selbstinvers, denn b ist ja auch nicht das Inverse zu a. Dann folgt aber . Also haben wir für die Rechtsmultiplikation an a folgende Kentnisse: Was ist dann also ? |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 23.10.2010, 17:57 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok ich versuch mal so vorzugehen danke 
|
||
| 23.10.2010, 18:15 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmm ok wieso können c und d nicht die inversen zu a sein? wenn ich deinem anstaz folge ist ad=a(ba)=(ab)a=ca stimmt das so? ich durchschau noch nicht so ganz worauf du hinaus willst ? Viellciht:Wenn man die gruppentafel wie für die spalte mit a aufschreibt lässt sich ja für ad keine Lösung finden sodass jedes element pro zeile und spalte nur einmal vorkommt Ist das der Widerspruch auf den du abzielst? |
||
| 24.10.2010, 01:01 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Letztere Idee ist die richtige. Bleibt nur noch die Frage warum c und d nicht invers zu a sein können. Nehm es doch einfach mal an und multipliziere sie ein bisschen an ab=c udn ba=d ran. |
||
| 24.10.2010, 10:19 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok es muss also gelten wie du ja gezeigt hast a*b=c und b*a=d geht man jetzt davon aus c ist invers zu a multipliziert man a*b=c aufbeiden seiten links mit c so erhält man c*a*b=c*c bzw. b=c*c macht man dasselbe für b*a=d rechtsseitig : b*a*c=d*c bzw. b=d*c daraus folgt dann c*c=d*c multipliziert man jetzt rechtsseitig mit dem inversen von c erhält man c=d ein Widerspruch . Richtig so ? also gilt wie du gesagt hast a*a=e und a*b =c dann kann also a*d nur noch =b oder c sein ist a*d=b folgt a*b*a=b => a*a*b*a=a*b => b*a=a*b also ein widerspruch ist a*d=c folgt a*d=a*b => a*a*d=a*a*b=> d=b auch ein WIderspruch heißt also es gibt kein "gültiges" Ergebnis für a*d Kann ich den Beweis jetzt so aufschreiben ? |
||
| 24.10.2010, 11:42 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
So kommt es hin. Vielleicht noch am Anfang hinschreiben, dass mit dem selben Argument wie bei c auch d nicht das Inverse zu a sein kann. Das hast du in deinem Beweis noch nicht ausgeschlossen. |
||
| 24.10.2010, 18:17 | Mousegg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super !!^^ ok das dürfte ich hinkriegen läuft ja dann anaog zu c ^^ vielen herzlichen dank für die Hilfe jetzt hab ich endlich doch einen Beweis
)danke für den Ansatz und vielleicht bis zum nächsten Problem 
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
