Aufgaben Untervektorräume / Lineare Hülle / ...

23.10.2010, 12:51	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben Untervektorräume / Lineare Hülle / ... Moin zusammen. Mich "plagen" folgende Aufgaben (und mehr ): Nur als kleine Vorwarnung: Wenn ihr mir helfen wollt, müsst ihr wissen, dass ihr wahrscheinlich seehr viel Geduld braucht... 1.) Sei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \in Mat(n \times n, ~\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Sei ausserdem $\begin{eqnarray} b = (b_1, b_2) \in ~\mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . Für welche $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_2 \end{eqnarray}$ des Gleichungssystems $\begin{eqnarray} A x = b \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} ~\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ? Geben Sie für diesen Fall eine Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ an. __________________________________________________________________ 2.) Sei $\begin{eqnarray} U \subseteq ~\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ die lineare Hülle $\begin{eqnarray} L[(1,1)] \end{eqnarray}$ des Vektors $\begin{eqnarray} (1,1) \in ~\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Bilden Sie den Quotienten $\begin{eqnarray} ~\mathbb R^2 / U \end{eqnarray}$ Bin dankbar für jede Hilfe/Tipps/Gedankenanstösse, etc! GreeZ omg_me
23.10.2010, 14:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für 1.) braucht man eigentlich die ganze Lösungstheorie von linearen Gleichungssystemen. Wenn du sie noch nicht kennst, kann ich dir mit einfachen Tipps weiterhelfen. 2.) Das ist ganz einfach. Was willst du wissen ? Weisst du irgendetwas über Quotientenräume ?
23.10.2010, 16:04	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, hatte zwischenzeitlich noch eine Besprechung... Zu 1.) Wenn du mit "Lösungstheorie von linearen Gleichungssystemen" das Gauss-Eliminationsverfahren meinst und damit das GS auflöst, erhalte ich: $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{1}{ad-bc} \cdot (d \cdot b_1 - b \cdot b_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{1}{ad-bc} \cdot (-c \cdot b_1 - a \cdot b_2) \end{eqnarray}$ (Auf beiden Seiten mit der inversen Matrix multipliziert) _____________________________________________________________________ Zu 2.) Quotientenräume...ja...hatten wir. Gemäss Skript: Der Vektorraum $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ heisst der Quotientenraum von V modulo U. Die Vektorraumstruktur auf $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ ist definiert durch: $\begin{eqnarray} [v_1] + [v_2] := [v_1 + v_2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha [v] := [\alpha v ] \end{eqnarray}$
24.10.2010, 13:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu1.) Mit Theorie meine ich Theorie und nicht Formeln, und ich meine, dass eine gute Theorie viel mehr wert ist als Formeln und Algorithmen. Deine Formeln funktionieren nur, wenn die Matrix invertierbar ist, also wenn die Determinante ad-bc ungleich 0 ist. In diesem Fall existiert genau eine Lösung (x1,x2); die Frage, wann diese Lösung ein Untervektorraum ist, ist nahezu trivial, gibt aber schon einen entscheidenden Hinweis auf die allgemeine Antwort. Wann ist ein Vektor ein Untervektorraum U von V=R² ? zu 2.) Ja, damit ist die Addition und die skalare Multiplikation von Elementen des Quotientenraums V/U definiert. Was aber sind seine Elemente ?
24.10.2010, 14:30	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1.) Ein Vektor ist dann ein Unterraum, wenn die Summe zweier Vektoren in U wiederum in U ist und wenn die Skalarmultiplikation eines Vektores mit einem a von K wiederum in U ist. Zudem darf der Unterraum nicht leer sein (also mindestens den Nullvektor enthält). Wäre dann die triviale Lösung dann einfach $\begin{eqnarray} b_1 = b_2 = 0 \end{eqnarray}$ , da man für $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 = 0 \end{eqnarray}$ setzt (Nullvektor)? Zu 2.) Über die Elemente haben wir nichts aufgeschrieben. Ich nehme an, es sind Vektoren, die eine Äquivalenzrelation bilden?
24.10.2010, 19:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu1.) Ja, der Nullvektor ist immer Element eines Untervektorraumes U. $\begin{eqnarray} A\cdot 0=b \Rightarrow b=0 \end{eqnarray}$ gilt allgemein. Damit ist diese Aufgabe gelöst. Theoretisch war mir das von Anfang an klar, weil die Lösungsmenge eines LGS immer die Nebenklasse nach einem Untervektorraum U ist, und das sind genau die Elemente des Quotientenraumes V/U. zu 2.) Ja, genauer sind es die Klassen [v]=v+U, sie heissen Nebenklassen nach U. Damit ist auch diese Aufgabe erledigt, der Quotientenraum ist $\begin{eqnarray} V/U=\{[v]:=v+U\|v\in V\} \end{eqnarray}$ Geometrisch sind das offenbar die Parallelen zu U, also die Parallelen zur 1. Winkelhalbierenden.
Anzeige

24.10.2010, 19:23	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »