Symmetrische Matrix

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24.10.2010, 11:55	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Matrix Ich muss zeigen, dass die Symmetrischen Matrizen $\begin{eqnarray} Sym(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von den quadratischen Matrizen $\begin{eqnarray} Mat(nxn,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ bildet und die Basis und Dimension angeben. Um das zu zeigen muss ich ja zeigen das folgendes gilt: 1) $\begin{eqnarray} Sym(n,\mathbb{R})\not=\emptyset \end{eqnarray}$ 2)die additive Verknüfung ist abgeschlossen. 3) die multilpikative Verknüfung ist abgeschlossen. 1) ist einfach: die Einheitsmatrix ist ja ein Element der Symmetrischen Matrizen, folglich ist die Menge nicht leer. 2) A und B seien symmetrisch: dann gilt: A+B=C $\begin{eqnarray} a_{ij}+b_{ij}=c_{ij} \end{eqnarray}$ Weil bei symmetrischen die Transponierte Matrix gleich der ursprünglichen Matix ist, kann man die Indizes auch vertauschen: $\begin{eqnarray} a_{ij}+b{ij}=a_{ji}+b_{ji}=c_{ij}=c_{ji} \end{eqnarray}$ Reicht das schon? Ich meine, mir ist schon klar, dass wenn ich zwei Matrizen addiere, dass ich dann wieder eine symmetrische Matrix bekomme, aber ich weiss einfach nicht, wie ich das aufschreiben soll? 3) Bei der Multiplikation ist es ähnlich: Reicht es als Beweis zu schreiben? $\begin{eqnarray} \alpha\cdot a_{ij}=c_{ij} \end{eqnarray}$ Weil man die Indizes bei symmetrischen Matrizen vertauschen kann: $\begin{eqnarray} \alpha\cdot a_{ji}=c_{ji} \end{eqnarray}$ Und dann noch zur Basis und der Dimension: Wenn ich die Matrizen aufzeichne, merke ich schnell dass die Basis jeweils: $\begin{eqnarray} (n\cdot (n+1))/2 \end{eqnarray}$ Elemente hat. Wie aber kann ich das mathematisch beweisen? Ich bin über jede Hilfe froh, muss diese Aufgabe morgen abgeben. Vielen Dank!
24.10.2010, 13:49	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Also 1-3 ist, soweit ich sehe, richtig. Bezueglich der Basis: Was ist denn eine Basis des Vektorraumes der Matrizen? Kannst du analog dazu vielleicht eine Basis der Symmetrischen Matrizen basteln?
24.10.2010, 14:42	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Eine Basis ist ja ein Erzeugendensystem, mit linear unabhängigen Vektoren. Bei einer symmetrischen 2x2 Matrix würde die Basis aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestehen. Sie hätte also die Dimension 3. Ich weiss nur nicht wie ich das allgemein formulieren kann? Vielen Dank!
24.10.2010, 17:24	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Hast du es schonmal mit den 3x3 Matrizen versucht (da sieht man etwas mehr)? Wo kannst du denn ueberall Einsen hinpacken und was muss gelten, damit die Matrix symmetrisch bleibt?
24.10.2010, 17:35	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Ja beiner 3x3 Matrix würde es dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
24.10.2010, 17:37	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Das ist ja jeweils einfach eine Spiegelung an der Hauptdiagonalen! Aber wie kann ich dann die Basis für eine allgemeine Sym(n, R) Matrix aufschreiben? Ich glaub' das ist mein einziges Problem!
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24.10.2010, 18:30	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Meinst du den Beweis, dass sich jede symmetrische Matrix als Linearkombination der Basisvektoren darstellen laesst? Dafuer schreibst du dir eine allgemeine Matrix hin und rechnest. Bzw gibst die Linearkombination an.
24.10.2010, 18:35	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Es steht in der Aufgabe geschrieben: "Bestimme eine Basis von Sym(n,R)." Ich weiss nur nicht, wie ich die allgemeine Basis aufschreiben soll?
24.10.2010, 18:42	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Ich wuerde es so Machen: $\begin{eqnarray} B=\left\{\left(\begin{matrix}1&0&0&...&0\\0&0&0&...&0\\\vdots\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0&1&0&...&0\\1&0&0&...&0\\\vdots\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0&0&1&...&0\\0&0&0&...&0\\1&0&...\\\vdots\end{matrix}\right),...\right\} \end{eqnarray}$ Du musst es halt nur so aufschreiben, dass es deutlich wird, was du meinst.
24.10.2010, 18:44	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Matrix Ok, danke!!!

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