Aufgabe zu einem endlichen Körper

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SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu einem endlichen Körper
Hallo zusammen, versuche grade eine Aufabe zu lösen, jedoch stellen sich mir da diverse Probleme.

Zunächst die Aufgabe :
Zitat:

Sei K endlicher Körper. Für und bezeichne na = a + ... + a die n-fache Summe v on a mit sich selbst.

a) Es existiert ein , so dass na = 0 für alle gilt.

b) Wählt man n wie in a minimal, so ist n eine Primzahl, die man die Charakterisitk von K nennt.




So also ich versuche mich zunächst mal an der a.

Mein Problem ist glaub ich das erst einmal zu verstehen.
Ich soll wohl ein n finden welches nicht 0 sein darf und trotzdem multipliziert mit jedem a null ergibt ?

Da Frage ich mich wie das funktionieren soll ? Ausser ich sage irgendwie das mein Körper K nur das Element 0 enthält.

Was meint ihr dazu ?


Gruß
Silver
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die a) ist klassisch und recht einfach zu beweisen. Die Idee ist folgende: Sei . Wenn , dann auch . Das bedeutet, ist wieder ein neues Element aus deinem Körper. Du erreichst so ständig neue Elemente aus deinem Körper, aber irgendwann auch das neutrale Element , da der Körper ja endlich ist.


Gruß, therisen
 
 
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
hmm
achso ich glaub ich hab das mit dem endlichen Körper nicht so ganz verstanden. Habe grade ein Beispiel gefunden vom Körper .

In diesem Körper ist ja 1+1 = 0.

Also müsste das für meinen Fall dies genau so sein. Da ich nicht weiß um welchen Körper es geht erreicht man zwangsläufig irgendwann das neutrale Elt 0. Und dies gilt nun zu zeigen ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Beweisidee habe ich dir schon geliefert. Nehme einfach an, der Körper sei endlich und die Annahme wäre falsch. Zeige dann mit meiner Idee, dass der körper dann unendlich viele Elemente enthalten müsste.


Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
schluck
Schluck ich krieg das irgendwie nicht hin... Bei Beweisen weiß ich einfach nie wie ich anfangen soll unglücklich

Hab probiert zu zeigen, dass :





Soll ich das mit Induktion beweisen ? Würde ja bedeuten das der Körper dann unendlich viele Elemente hat und somit nicht mehr endlicher Körper ist.


Hab grad noch ne Idee bekommen... Kann ich den Beweis so anfangen, dass ich sage n = |K| und |K|*1 = 0 ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte das denn gelten?

Fang so an: Sei mit beliebig, aber fest. Mit der Annahme würde folgen, dass injektiv ist. Weiter lässt sich zeigen, dass auch surjektiv ist. Dann wären aber und gleichmächtig.


Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
re
stehe nach wie vor vor dem selben Problem...
Die Sache mit Injektiv, Surjektiv, Bijektiv ist ja sozusagen nur das Gerüst das den Beweis beherbergt.

Ich suche nach einer Möglichkeit knallhart den Beweis zu liefern, dass aus

und
folgt, dass ich so beliebig viele Elemente erzeugen kann was dann ja mit meinem Grüst bedeutet das K nicht mehr endlich ist.

Da lag ja mein Problem unglücklich

Sonst würde mein Beweis ja Beweislos aussehen :

Sei . Wenn , dann auch .

ist ein weiteres Element aus K.

So werden beliebig viele Elemente aus K erzeugt bis irgendwann das neutrale Element gebildet wird.


Also gilt n*a =0


Beweis durch Widerspruch :
Wir nehmen an, dass das neutrale Element nicht erreicht werden kann durch n*a = 0.

Sei mit beliebig, aber fest, so gilt :

Somit ist injektiv

Weiter gilt da N nicht endlich ist :


Somit ist r surjektiv.


Daraus folgt, dass r Bijektiv ist und somit dass |N| = |K|.
Widerspruch !



Kann ich den Beweis nicht anders machen ? Also indem ich zeige das für jeden endlichen Körper K gilt : |K| * 1 = 0 ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: re
Zitat:
Original von SilverBullet

Somit ist injektiv


Was soll das bitte bedeuten? Wo fließt da die Annahme ein? Zeige, dass aus folgt, dass ist. Der Rest passt.


Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
echt ?
Also wenn ich das oben ersetze durch :





reicht das dann ? Das ist dann ein Beweis dazu ?

ps :
Zitat:

Kann ich den Beweis nicht anders machen ? Also indem ich zeige das für jeden endlichen Körper K gilt : |K| * 1 = 0 ?


Geht das nicht auch irgendwie damit ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: echt ?
Zitat:
Original von SilverBullet
Also wenn ich das oben ersetze durch :





reicht das dann ? Das ist dann ein Beweis dazu ?


Nö, sei vorsichtig mit den Quantoren (das ist kein guter Stil). Gerade das musst du ja zeigen!

Zitat:
Original von SilverBullet
ps :
Zitat:

Kann ich den Beweis nicht anders machen ? Also indem ich zeige das für jeden endlichen Körper K gilt : |K| * 1 = 0 ?


Geht das nicht auch irgendwie damit ?


Kann ich mir gerade nicht vorstellen, bin aber für Vorschläge deinerseits offen Augenzwinkern
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
hm
hmm da müsste ich doch nur eine Kleinigkeit vergessen haben.

Zitat:




Es gilt : n = m, da dies sonst bedeuten würde das 2 verschiedene Elemente von N das gleiche Bild in der Zielmenge hätten was gegen die schon Bewiesene Injektivität spricht
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du denn die Injektivität gezeigt? Das ist ja gerade das, was ich dir zitiert habe...
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
re
Bin grad voll durcheinander unglücklich

Also noch ein Versucht :

Beweis der injektivität :








therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Begründung, wie du von der vorletzten zur letzten Zeile kommst, wäre angebracht (dafür benötigst du nämlich die Annahme).
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: re
da a beliebig jedoch fest gilt kann ich es auf beiden Seiten kürzen ^^
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist nur, dass wir uns der (abelschen) Gruppe des Körpers befinden. Und müssen wir mit identifizieren. Ich zeige dir mal, was ich meine: Es gelte . Das bedeutet:

Angenommen, es wäre o.B.d.A. . n-malige Addition von würde ergeben:

Nun ist aber und damit hätten wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass es kein gibt, sodass gilt.

Klingt irgendwie besser als deine Version, oder?

Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
ui
ui das klingt sogar sehr viel besser Big Laugh

Also ich schreib mir das jetzt mal alles auf Papier auf und lese es mir noch ein paar mal durch. Dann probier ich mal Teil b.
Wobei ich bisher auf anhieb noch keine Verbindung von Teil a und b sehe.


Habe noch eine Frage da der Beweis nun ein wenig durcheinander geraten ist :

Zitat:
Nun ist aber und damit hätten wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass es kein gibt, sodass gilt.



Damit ist doch schon direkt die Aufgabe bewiesen dass na = 0 sein kann oder nicht ?
Ich dachte eigentlich das dies der Beweis dafür ist, dass injekiv ist :-/
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ui
Zitat:
Original von SilverBullet
Habe noch eine Frage da der Beweis nun ein wenig durcheinander geraten ist :

Zitat:
Nun ist aber und damit hätten wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass es kein gibt, sodass gilt.


Damit ist doch schon direkt die Aufgabe bewiesen dass na = 0 sein kann oder nicht ?
Ich dachte eigentlich das dies der Beweis dafür ist, dass injekiv ist :-/


Nein, wir haben nur die Injektivität gezeigt. Wie kommst du darauf, dass das die Aufgabe löst?

Zur b) Angenommen, ist zusammengesetzt, d.h. mit und ist die kleinste Zahl, sodass für alle gilt. Dann ist . Das liefert jetzt einen Widerspruch, siehst du ihn?

Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis :
Sorry für den Doppelpost aber ich muss das einfach nochmal aufschreiben. So würde ich das ganze nun formulieren obwohl mir das irgendwie doppeltgemoppelt vorkommt da man im Beweis für die Injektivität schon den Beweis für n*a = 0 drin hat ?!?!


K endlicher Körper.
Sei
Wenndann ist auch
ist ein weiteres Element von K.

So werden beliebig viele Elemente von K erzeugt bis irgendwann das neutrale Element erzeugt wird und gilt : na = 0.


Beweis durch Widerspruch :
Annahme : K ist endlich und das neutrale Element kann nicht durch na erzeugt werden.

Sei mit


Aus der Annahme folgt das das injektiv ist :




Es gelte . Das bedeutet:

Angenommen, es wäre o.B.d.A. . n-malige Addition von würde ergeben:

Nun ist aber und damit hätten wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass es kein gibt, sodass gilt.


Somit muss also r injektiv sein !!!



Weiter gilt da N nicht endlich ist :


Somit ist r surjektiv.


Daraus folgt, dass r Bijektiv ist und somit dass |N| = |K|.
Widerspruch !

Da die Mengen nicht gleichmächtig sind ist das Gegenteil der Annahme bewiesen also muss es ein n geben sodass gilt n*a = 0


Edit : Doch kein Doppelpost *puh*

Edit² :
Zitat:
Nein, wir haben nur die Injektivität gezeigt. Wie kommst du darauf, dass das die Aufgabe löst?


Naja weil man den Beweis doch direkt rausziehen kann indem man sagt man kann n*a = 0 bilden indem man 2 verschiedene n miteinander verrechnet sodass gilt

Edit³ : Ok vergiss das letzte.. Dann müsste ja n ungleich m sein und eine Ungleichung da stehen... Egal also ^^ So wie es nun hier oben steht müsste es ja richtig sein
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis :
Zitat:
Original von SilverBullet
Sei
Wenndann ist auch
ist ein weiteres Element von K.

So werden beliebig viele Elemente von K erzeugt bis irgendwann das neutrale Element erzeugt wird und gilt : na = 0.


Den Teil kannst du dir sparen, das ist ja nur die Beweisidee, die im Widerspruch benutzt wird.

Zitat:
Original von SilverBullet
Weiter gilt da N nicht endlich ist :


Somit ist r surjektiv.

Das ist nur eine Anhäufung von Quantoren ohne jeglichen Inhalt! Wie gesagt, Vorsicht vor dieser Schreibweise. Diese wird auch als stilistisch unschön betrachtet!

Zitat:
Original von SilverBullet
Edit² :
Zitat:
Nein, wir haben nur die Injektivität gezeigt. Wie kommst du darauf, dass das die Aufgabe löst?


Naja weil man den Beweis doch direkt rausziehen kann indem man sagt man kann n*a = 0 bilden indem man 2 verschiedene n miteinander verrechnet sodass gilt


Die Argumentation verstehe ich nicht und aller Wahrscheinlichkeit nach ist sie auch falsch.


Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Original von SilverBullet
Weiter gilt da N nicht endlich ist :


Somit ist r surjektiv.

Das ist nur eine Anhäufung von Quantoren ohne jeglichen Inhalt! Wie gesagt, Vorsicht vor dieser Schreibweise. Diese wird auch als stilistisch unschön betrachtet!


Hmm nagut also dann formuliere ich das einfach aus :
Für jedes Element unseres Körpers muss mindestens ein n aus N existieren da N eine nicht endliche Menge ist.
Daher ist r surjektiv



Zu 1b) Sehe den Widerspruch leider nicht.. Darf m oder n übrigens 0 sein ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's schon besser.

Nein, weil gefordert wird. Dann muss sein. Weiter gilt . Die letzte Gleichung musst du jetzt richtig interpretieren...


Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
re
Huhu nochmal,


also ich habe heftigst probiert das Problem mit der Primzahl (Aufgabenteil b) zu verstehen schaffe es aber nicht wirklich.

Zitat:
Zur b) Angenommen, ist zusammengesetzt, d.h. mit und ist die kleinste Zahl, sodass für alle gilt. Dann ist . Das liefert jetzt einen Widerspruch, siehst du ihn?



Also ich denke du willst darauf hinaus das wenn z.b. m= 2 und n = 4 ist folgt :

2*4(a) = neutrales Element

aber ich kann ja kürzen, so dass gilt 1*2(a) = neutrales Element.

Da besteht nun der Widerspruch oder nicht ?
Wenn p nun Primzahl ist kann ich diese nicht kürzen und somit ist mein neutrales Element eindeutig und p minimal ?

Stimmt das so ? Wenn nicht wo hab ich den Wurm drin ?
Wie beweist man dies?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, so ganz hast du es nicht verstanden. Es ist ja und es gilt . Nun ist aber , aber p sollte ja das minimale Element sein, für das für alle Elemente a des Körpers gilt: pa=0.



Gruß, therisen
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
hm
Ja ok das verstehe ich.

Scheint mir nur komisch das Teil b so kurz ist und Teil a solch eine lange Aufgabe.

Also Beweis zu b)

Zitat:
Angenommen, ist zusammengesetzt, d.h. mit und ist die kleinste Zahl, sodass für alle gilt. Dann ist .

Und hier liegt der Widerspruch da :

Zitat:
Es ist ja und es gilt . Nun ist aber , aber p sollte ja das minimale Element sein, für das für alle Elemente a des Körpers gilt: pa=0.


Also so würde der Beweis aussehen ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

a) ist nur so lange, wenn man es sauber aufschreiben will, die Beweisidee ist ja mindestens genauso kurz Augenzwinkern

Ja, so würde der Beweis aussehen.


Gruß, therisen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverBullet
Und hier liegt der Widerspruch da :

Zitat:
Es ist ja und es gilt . Nun ist aber , aber p sollte ja das minimale Element sein, für das für alle Elemente a des Körpers gilt: pa=0.

Ich sehe da noch keinen Widerspruch! Wer sagt, dass für alle gilt? Dazu müsste man erstmal zeigen, dass für festes durch die Abbildung alle Elemente von erreicht werden.

Gruß MSS
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wer sagt, dass für alle gilt? Dazu müsste man erstmal zeigen, dass für festes durch die Abbildung alle Elemente von erreicht werden.

Ich glaube ja, ich bin einfach nur zu blöd dafür, aber kann's mir trotzdem mal jemand erklären?

Gruß MSS
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt haben Michi und ich das Ganze nochmal etwas diskutiert und sind auf die endgültige Lösung gekommen.

a) Zunächst gilt . Angenommen, es gäbe kein , sodass ist. Dann ist für jedes ein Körperelement und alle diese Elemente sind verschieden, denn gäbe es zwei natürliche Zahlen mit , dann folgt , im Widerspruch zur Voraussetzung. Also hat unendlich viele Elemente, was aber nach Voraussetzung nicht möglich ist. Es gibt also doch ein mit . Dann folgt für alle aber auch:



.

Also ist a) gezeigt.

b) Wir wählen wie in a) minimal. Angenommen, wäre nicht prim, dann gäbe es natürliche Zahlen mit . Dann gilt also und damit:

.

Gilt , so auch für alle (s. a)) und es gäbe einen Widerspruch zur Minimalität von . Gilt aber , so hat man und damit

,

woraus wegen der Nullteilerfreiheit von folgt, dass ist. Dann folgt aber wieder für alle , was wiederum ein Widerspruch zur Minimalität von ist. Also muss doch prim sein.

Gruß MSS
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