Beweis für den Erwartungswert bei einer Binominialverteilung (anderer Weg)

26.10.2010, 11:48

hart

Beweis für den Erwartungswert bei einer Binominialverteilung (anderer Weg)

Meine Frage:
Hi,

Ich soll morgen im Mathe beweisen, dass der Erwartungswert
$\begin{eqnarray*} E(x)= n*p \end{eqnarray*}$
ist.

Meine Ideen:
Den Ansatz der hier bereits im Forum ist habe ich verstanden, allerdings soll ich das Ganze so machen, dass ich zunächst beweise, dass:
$\begin{eqnarray*} X(w)=X1(w)+X2(w)+...+Xn(w) \end{eqnarray*}$
Nur ich habe dazu leider gar keinen Ansatzpunkt, oder sehe ihn nicht.

26.10.2010, 13:58

Zellerli

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Deine erste Formel gilt speziell für die Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Die weitere Formel verstehe ich nicht. Ich deute mal, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ deine Bernoulli-Kette ist, also z.B. $\begin{eqnarray*} \omega=(10011101) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,... \end{eqnarray*}$ deine Zählvariablen für einzelnen Experimente mit dem möglichen Ausgang $\begin{eqnarray*} 0 \vee 1 \end{eqnarray*}$ sind und daher $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Summe dieser Einzelexperimente.

Das heißt im Beispiel $\begin{eqnarray*} \omega=(10011101) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} X_1(\omega)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_2(\omega)=0 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} X_8(\omega)=1 \end{eqnarray*}$
und deshalb:
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=1+0+0+1+1+1+0+1=5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 5 \cdot 1=5 \end{eqnarray*}$

Ich habe das extra ausführlich hingeschrieben, denn die letzten drei Gleichheiten helfen beim "Beweis". Für mich ist es kein richtiger Beweis, denn die Variable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wird eigentlich genau so definiert. Du kannst es höchstens veranschaulichen (aber daher eigentlich nicht beweisen), was das heißt. Vorausgesetzt, ich habe deine Aufgabe (siehe Anmerkung oben) korrekt interpretiert.

Du musst dir zunächst vor Augen führen: Bei der Binomialverteilung kommt es am Ende nicht drauf an, welche der Experimente mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und welche mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ausgingen, sondern nur wie viele Experimente mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ausgingen (die anderen zwangsläufig mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ). Oben waren es $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ Versuche und $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ Treffer. Wie sieht der allgemeine Fall aus?

26.10.2010, 15:00

hart

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Achso, dann ist es ja eigentlich klar.

Gibt es denn für diese Aussage über die Zufallsgrößen einen speziellen Beweis? Anscheinend nicht, aber das ist ja auch ziemlich klar...

Weiter kann man ja dann sagen, dass

$\begin{eqnarray*} E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X)=n*E(X1) \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} E(X1)=p \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} E(X)=n*p \end{eqnarray*}$

26.10.2010, 15:02

hart

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Ist das jetzt so richtig oder fehlt mir was?

Vielen Dank übrigens für die schnelle Hilfe Augenzwinkern

26.10.2010, 15:11

Zellerli

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Sehr schön! Das passt dann, ABER:

Ihr müsst gelernt (also bewiesen) haben, dass für die Summe $\begin{eqnarray*} X_s \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} E(X_s) = E(X_1)+E(X_2)+...E(X_n) \end{eqnarray*}$
Eine Eigenschaft, die der Erwartungswert hat, weil er linear ist.

Wenn das irgendwo in deinem Buch steht, oder der Lehrer es vorher schonmal verwendet hat, musst du das nicht gesondert beweisen (das wäre ein "echter" Beweis, der allerdings nicht schwer ist). Ich nehme aber an, dass ihr das schon bewiesen habt, weil es sicherlich bei der Einführung des Erwartungswertes (also vor der Binomialverteilung und ihrem Erwartungswert) drankommt.

edit: Du solltest noch ein paar Zwischenschritte oder zumindest Erklärungen hinzufügen.

Warum ist $\begin{eqnarray*} E(X_1)+E(X_2)+...E(X_n) = n \cdot E(X_1) \end{eqnarray*}$ ?
Du und ich verstehen das, aber deinen Mitschülern, die das zum ersten mal sehen, solltest du es ausführlicher erklären. Zum Beispiel mit dem Zwischenschritt:
$\begin{eqnarray*} E(X_1)=E(X_2)=...=E(X_n)=p \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kannst du hier auch noch weglassen, es kann aber auch Sinn machen hier "schon" damit herauszurücken.

26.10.2010, 15:28

hart

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Aah, darauf wollte mein Lehrer hinaus, das haben wir nämlich tatsächlich noch nicht bewiesen. Wie genau funktioniert das denn?

Danke für den Tipp mit den Zwischenschritten, werde ich beherzigen

26.10.2010, 16:45

Zellerli

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Vorgeplänkel (falls du es nicht ohnehin schon weißt):

Der Erwartungswert ist definiert als $\begin{eqnarray*} E(X)=x_1 \cdot p(X=x_1) + x_2 \cdot p(X=x_2) + ... \cdot x_n \cdot p(X=x_n) \end{eqnarray*}$ Das kann man mit dem Summenzeichen zusammenfassen: $\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i=1}^n ~ x_i \cdot p(X=x_i) \end{eqnarray*}$ .

Das $\begin{eqnarray*} p(X=x_i) \end{eqnarray*}$ bedeutet "Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ annimmt."
Also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße "Augenzahl" beim einmaligen Würfelwurf den Wert $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ annimmt (die wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ).

Sieht hässlich aus, ist aber halb so wild:
Man macht sich da meistens eine Tabelle mit zwei Zeilen. Oben stehen die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und unten die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p(X=x_i) \end{eqnarray*}$ .. Die kürzt man auch oft ab als $\begin{eqnarray*} p(x_i) \end{eqnarray*}$ .

Beim Würfel ist:
$\begin{eqnarray*} x_1=1,p(x_1)=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=2,p(x_2)=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} x_6=6,p(x_6)=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Wie sieht dann der Erwartungswert aus für den Würfel aus?

Ende des Vorgeplänkels.

Also du kannst es zunächst mal darauf zurückführen, dass du nur zwei Zufallsvariablen hast:

Nennen wir sie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du beweisen: $\begin{eqnarray*} E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$ . Ich weiß dein Vorwissen nicht aber da brauche ich dir den Beweis nicht lange vorzukauen. Ihn findest du zum Beispiel hier (lass dich von den doppelten Summenzeichen nicht abschrecken, sie sind ganz logisch eingesetzt und bedeuten, dass jeder Summand wieder eine Summe ist).

Ansonsten kannst du den Satz auch nur speziell für die Binomialverteilung beweisen (dazu brauchst du aber die vollständige Induktion - hat man auch nicht immer in der Schule):

Wie sieht der Erwartungswert für ein einzelnes Bernoulli-Experiment aus?

Und wie sieht er dann für die Summe aus zwei Bernoulli-Experimenten aus (also eine Bernoulli-Kette mit der Länge 2)?
Die Induktion ist dann aber auch recht unschön.

Ein anderer Weg als die beiden genannten, der in einem Referat für Schüler in absehbarer Zeit verständlich erklärt werde könnte fällt mir allerdings gerade nicht ein.

26.10.2010, 23:10

hart

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Vielen Dank,

hab mein referat fertig und bin gewappnet.
Das war heute mien bestes Geburtstagsgeschenk.

Schönen Abend noch und nochmals Danke für die schnelle Hilfe

26.10.2010, 23:24

Zellerli

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Na dann alles Gute und viel Erfolg morgen!

Mein erstes 45min-Referat in der Kollegstufe habe ich direkt an meinem Geburtstag gehalten Augenzwinkern

27.10.2010, 07:23

hart

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mist, ich muss doch noch einmal nerven Augenzwinkern

bei dem Link zu dem Beweis für E(X+Y)=E(x)+E(Y)
versteher ich den Schritt von der 2. auf die 3. Zeile und von der 3. auf die 4. nicht ganz.

Kann man das x bzw. y einfach vor die Summe ziehen, weil es in der SUmme sowieso nicht vorkommt?
Und fällt deshalb auch beim 3. Schritt das Summenzeichen weg?

Naja hab noch bis halb 2 Zeit mit meinem Referat Augenzwinkern

27.10.2010, 13:21

Zellerli

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Von der zweiten auf die dritte wird einfach das $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ bzw. das $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ vor die Summe gezogen, weil es konstant ist ( $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ hängt ja nicht von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab und $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ).

Und vom dritten auf den vierten Schritt ergibt die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_k ~ P(X=x_j,Y=y_k) \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} P(X=x_j) \end{eqnarray*}$ , denn es gilt nach der Pfadregel:
$\begin{eqnarray*} P(X=x_j,Y=y_k)=P(X=x_j)\cdot P(Y=y_k) \end{eqnarray*}$ . Das heißt du kannst bei der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_k ~ P(X=x_j,Y=y_k)=\sum_k ~ P(X=x_j)\cdot P(Y=y_k) \end{eqnarray*}$ wieder das von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ unabhängige $\begin{eqnarray*} P(X=x_j) \end{eqnarray*}$ in jedem Summanden ausklammern, weil es konstant ist. Es steht dann da: $\begin{eqnarray*} P(X=x_j) \cdot \sum_k ~ P(Y=y_k) \end{eqnarray*}$ , wobei die Summe genau 1 ergeben muss, weil es alle möglichen Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ aufsummiert - irgendein Ereignis MUSS immer auftreten.
Analoges gilt bei der zweiten Summe.

Noch 9min, fürchte ich bin zu spät aufgestanden. Sorry.

27.10.2010, 14:23

Huggy

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Zitat:

Original von Zellerli
Und vom dritten auf den vierten Schritt ergibt die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_k ~ P(X=x_j,Y=y_k) \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} P(X=x_j) \end{eqnarray*}$ , denn es gilt nach der Pfadregel:
$\begin{eqnarray*} P(X=x_j,Y=y_k)=P(X=x_j)\cdot P(Y=y_k) \end{eqnarray*}$ .

Da muss ich etwas Wasser in den Wein gießen. Die Pfadregel gilt ja nur, wenn X und Y statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind.
Bei dem konkreten Problem ist diese Voraussetzung erfüllt, denn es wird angenommen, dass die einzelnen Bernouilliexperimente unabhängig voneinander sind.
$\begin{eqnarray*} E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$ gilt aber auch, wenn X und Y nicht statistisch unabhängig sind. Der allgemeine Beweis sieht deshalb leicht anders aus.

27.10.2010, 14:49

Zellerli

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Ja, hätte ich noch dazusagen müssen, du hast recht.

Hab mir das gestern auch durchgesehen und hielt es für am besten erklärt über das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, jedoch schwächt das den Beweis ab auf unabhängige Ereignisse.

Der Beweis sollte aber allgemein genauso aussehen wie im Buch (ist ja auch für gemeinsam diskret verteilte Zufallsgrößen), nur dass man sich das eben nicht als Produkt umschreiben darf. In meinem Stochastik Skript war er noch kürzer (und unnachvollziehbarer).

27.10.2010, 15:41

hart

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Ja, war kein Problem mein Lehrer hat mein Referat auch einfach auf Morgen verschoben Augenzwinkern

Also alles i.o.
schöne Semesterferien noch, oder weswegen du auch immer lange schlafen darfst Augenzwinkern

27.10.2010, 16:59

Zellerli

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"Semester" heißt das Augenzwinkern

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