Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen

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Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen
Ich hoffe, es ist Ok wenn ich hier jede Woche aufs neue Hilfe suche und am Ende vielleicht sogar zu jeder Aufgabe Hilfestellung suche aber aller Anfang ist schwer und mir fällt immer wieder auf, dass meine Ideen nicht mal so falsch sind, am Ende aber jedoch meine Aufzeichnungen nicht ausreichen. Deswegen schreibe ich hier auch genau hin, was ich ins Heft schreibe. Wäre also super, wenn ihr auch auf Formfehler hinweisen könntet.
Genug der Vorrede, auf gehts:


Aufgabe:

Aufgabe 1 (16 Punkte).
Seien f : M -> N und g : N -> R Abbildungen. Zeige:
(i) Wenn f und g injektiv sind, so auch g ° f.

Behauptung:
Wenn f:M->N g:N->R Injektiv, dann g°f injektiv

Beweis:
R\subseteq M


g°f: M -> R
x -> g(f(x))

da f injektiv -> f(x1)=f(x2) x1=x2 laut definition
da g injektiv -> g(x1)=g(x2) x1=x2 laut definition

(g°f)()=g(f()))=g(f()=(g°f)()
-> g°f()=g°f()
-> x1=x2

Also ist g°f: M -> R injektiv


Geht das so?
Wo sollte man noch mehr schreiben? Kann ich g°f()=g°f() einfach gleich setzen?
Muss ich beweisen, dass R eine Teilmenge von M ist? Ich habe deswegen x als Element von R definiert da dann x ja definitiv in M und R ist...

Wenn das alles totaler unsinn ist, ruhig ordentlich Forum Kloppe
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen
Zitat:
Original von Nadelspitze
R\subseteq M
Wie kommst du den darauf?
Zitat:
g°f()=g°f()
-> x1=x2
Genau das musst du doch zeigen...
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen
Zitat:
Original von kiste
Zitat:
Original von Nadelspitze
R M
Wie kommst du den darauf?


Muss nicht R eine Teilmenge von M sein, wenn R eine Abbildung von N ist, welche ja eine Abbildung von M ist?


Zitat:
Original von kiste
Zitat:
g°f()=g°f()
-> x1=x2
Genau das musst du doch zeigen...


Aber wie?


Ich hab in meinem Skrip nur ein Beispiel, in dem von x² ausgegangen wird und nicht allgemein...

da laut def

ist x1=x2

macht soweit alles Sinn, aber hier habe ich ja keine Funktionsvorschrift und ich kann ja auch nicht einfach eine Funktion nehmen und damit beweisen, da es ja sonst kein Beweis sondern ein Beispiel ist...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen
Zitat:
Original von Nadelspitze
Muss nicht R eine Teilmenge von M sein, wenn R eine Abbildung von N ist, welche ja eine Abbildung von M ist?

Nein auf keinen Fall. Ich kann dir ne Abbildung von {Apfel,Birne} nach {gut,schlecht} oder sowas geben...


Zitat:

Aber wie?

Wenn man wenig zur Verfügung hat, dann muss man wenigstens das nutzen was zur Verfügung steht. Also was sind deine Voraussetzungen? Wie kannst du diese benutzen?
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen
Zitat:
Original von kiste
Zitat:
Original von Nadelspitze
Muss nicht R eine Teilmenge von M sein, wenn R eine Abbildung von N ist, welche ja eine Abbildung von M ist?

Nein auf keinen Fall. Ich kann dir ne Abbildung von {Apfel,Birne} nach {gut,schlecht} oder sowas geben...

Ok, vergessen wir das ^^

Zitat:
Original von kiste
Zitat:

Aber wie?

Wenn man wenig zur Verfügung hat, dann muss man wenigstens das nutzen was zur Verfügung steht. Also was sind deine Voraussetzungen? Wie kannst du diese benutzen?


Also ich habe
ein injektives f
f(x1)=f(x2) x1=x2 laut definition

ein injektives g
g(x1)=g(x2) x1=x2 laut definition

und weiß, das (g°f)(x)=g(f(x))

ich weiß auch, dass wenn x1=x2 dann g(f(x1))=g(f(x2)) sein muss wenn g°f injektiv sein soll



*doch kein edit*
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität bei Verknüpfungen von Abbildungen
Zitat:
Original von Nadelspitze
ein injektives f
f(x1)=f(x2) x1=x2 laut definition

Les dir bitte noch einmal gründlich die Definition durch. Wenn du diese nicht korrekt wiedergeben kannst wird es auch nichts mit dem Beweis. Die Aufgabe ist auch nur dafür da die Definition zu wiederholen, der Beweis geht in einer Zeile
 
 
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Definition lautet doch, wenn f(x1)=f(x2) dann muss x1=x2 sein...?!

heißt, für jeden x wert, existiert genau ein y wert.

wenn also der y Wert gleich ist, muss auch x gleich sein. oder nicht?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stand aber bei dir nirgends sauber da.
Jetzt verwende die Injektivität von g auf g(f(x)) = g(f(y))
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »

g(f())=g(f())

da g injektiv laut definition gilt,
wenn g(f())=g(f()
->f()=f()
da f injektiv laut definition gilt,
wenn f()=f()
-> x1=x2


so in etwa?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau so smile

Du kannst übrigens den gesamten Term in LaTeX schreiben:

Sieht dann etwas schöner aus als wenn du nur die Variablen mit LaTeX schreibst
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