Teilerfremdheit |
28.10.2010, 12:42 | cielito | Auf diesen Beitrag antworten » |
Teilerfremdheit Ich hab eine eine Folge gegeben mit: wobei und teilerfremd sind. Nun soll ich zeigen, dass a teilerfremd zu allen k`s ist und dass die Folge eine Folge von paarweise teilerfremder Zahlen ist. Meine Ideen: Ich hab es jetzt versucht per Induktion zu machen und komme auf sowas: n=0: stimmt der Vorraussetzung zufolge n->n+1: Sei a teilerfremd ( tf ) zu a tf zu und tf zum => tf sowohl zu a wie auch Stimmt die letzte Folgerung so oder hab ich da etwas gezaubert was es nicht gibt?^^ |
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28.10.2010, 12:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine letzte Folgerung ist falsch. Teilerfremdheit ist nicht transitiv. Aber du kannst im Induktionsschritt so vorgehen: Wir haben . Nun wollen wir zunächst zeigen, dass und teilerfremd sind. Nehmen wir also ein mit und . Dann folgt . Warum ist das ein Widerspruch? Damit hättest du immerhin schonmal die Teilerfremdheit von a und für alle n. Fehlt nur noch, dass alle Folgenglieder paarweise teilerfremd sind. |
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28.10.2010, 13:23 | cielito | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, ich verstehe. Da k und a tf sind, haben sie auch keine gemeinsame Teiler d. Könnte ich denn umgekehrt analog vorgehen um dem zweiten Teil zu beweisen? Also für wählen wir ein mit und . Somit müsste c ein teiler von a oder sein was wieder ein Widerspruch ist |
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28.10.2010, 17:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Problem ist, dass du damit nur die Teilerfremdheit von und gewinnst, aber noch lange nicht die paarweise Teilerfremdheit aller mit . Um das zu erhalten könnest, du mal nachweisen: Für alle gilt: Daraus folgt die Behauptung, denn ist d ein positiver gemeinsamer Teiler von und , , so folgt mit oibger Aussage und wegen der Teilerfremdheit von und also |
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30.10.2010, 20:44 | herri | Auf diesen Beitrag antworten » |
... wie hast du denn gezeigt dass eine streng wachsende monotonie vorliegt? ich krieg den IS nicht so ganz hin |
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