Teilraumtopologie [algebraische Topologie]

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Idiot Auf diesen Beitrag antworten »
Teilraumtopologie [algebraische Topologie]
Hallo,

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung:

Sei U eine Teilmenge des R^2 (anschaulich der Ebene). Eine Funktion
f:U->R ist lokal konstant gdw. f auf jeder zusammenhängenden Komponente konstant ist.


Meine Frage ist wie man die Mengen U, bzw. die zusammenhängenden Komponenten (bezeichnet z.B. mit V) zu verstehen hat. Betrachtet man diese als Teilräume des topologischen Raumes R^2? s.d. sich die eigenschaften wie offen, umgebung etc. auf die Teilraumtopologie von U bzw. V bezieht?

Also ich habe diese Aufgabe gelöst, aber ich habe eben obige Annahmen gemacht. z.B. habe ich f lokal konstant bzgl. der Teilraumtopologie von U betrachtet usw.

Zwar kann ich mir keine andere Lösung vorstellen, da dies zu allgemein wäre, aber ich bin mir sehr unsicher in diesem Thema, da ich noch ungeübt bin mit diesen Begriffen.

Vielen Dank
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilraumtopologie [algebraische Topologie]
Hallo!

Du kannst hier die zu untersuchenden Menge U bzgl. ihrer Relativtopologie betrachten, ja: dies liegt daran, dass Zusammenhang eine innere Eigenschaft ist. Das wäre jedoch zu zeigen, das dies geht, wenn du es nicht als Satz zur Verfügung hast.

Ansonsten ist diese Untersuchungsweise nicht zwingend, sondern eben eine Möglichkeit von vielen.

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für deine Antwort:

Es freut mich, dass mein Lösungsweg auch tatsächlich funktioniert.
Nur kann ich mir nicht vorstellen, wie dies anders gehen soll, denn:

betrachtet man die z.B. "Rückrichtung"

"<=" sei ein beliebiger punkt x U gegeben.

dann wissen wir dieser Punkt liegt in einer Zusammenhängenden komponente von U, genannt V und f ist konstant auf ganz V nach vor.

Nun muss man doch aber zeigen, dass V offen in U ist. ok V ist eine Teilmenge von U.
Wenn man aber V als Teilraum von U auffasst, dann ist V sicherlich offen und somit auch offen in U.

Wie könnte man denn z.B. anders argumentieren das würde mich sehr interessieren?

Gruß
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilraumtopologie [algebraische Topologie]
Zitat:
Original von Abakus
Du kannst hier die zu untersuchenden Menge U bzgl. ihrer Relativtopologie betrachten, ja: dies liegt daran, dass Zusammenhang eine innere Eigenschaft ist. Das wäre jedoch zu zeigen, das dies geht, wenn du es nicht als Satz zur Verfügung hast.


Soweit ich weiss ist das doch gerade die Definition. Ein Teilraum heisst zusammenhängend, wenn er es mit der Teilraumtopologie ist. Wikipedia meint das jedenfalls auch.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt von einer anderen Definition von Zusammenhang ausgegangen als system-agent, weil die Verwendung dieser Definition hier ja keine Frage aufwerfen würde.

Daher erstmal gefragt: wie habt ihr Zusammenhang definiert? Es gibt da einige Möglichkeiten.

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir haben gesagt, eine Menge ist zusammenhängend wenn sie nicht als disjunkte vereiningung zweier nicht-leerer Mengen geschrieben werden kann.

Und Teilräume sind zusammenhängend, wenn sie als Teilräume zusammenhängend sind.
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Idiot
Also wir haben gesagt, eine Menge ist zusammenhängend wenn sie nicht als disjunkte vereiningung zweier nicht-leerer Mengen geschrieben werden kann.


Dann wären nur einpunktige Mengen und die leere Menge zusammenhängend. Bei zwei Elementen könnte man ja schon zerlegen.

Da müssten weitere Bedingungen gefordert sein, damit das Sinn macht.

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

oh du hast recht. ich habe vergessen zu schreiben, dass diese Mengen offen sein müssen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Idiot
oh du hast recht. ich habe vergessen zu schreiben, dass diese Mengen offen sein müssen.


OK, offen bzgl. welcher Topologie? Da sind wir wieder bei unserer aufgeworfenen Frage.

Ich mache folgenden Vorschlag:

A ist nicht zusammenhängend, wenn offene Teilmengen U und V des zugrundeliegenden top. Raumes X existieren, so dass und jeweils nichtleer sind und eine Zerlegung von A bilden (das bedeutet zunächst nicht, dass die beiden Zerlegungsmengen offen sein müssen).

Und klar, existiert keine solche Zerlegung, heißt A zusammenhängend.

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok das klingt gut. Nur sollten A geschnitten U mit A geschnitten V disjunkt sein oder?

Die Frage ist doch aber, ob ich überhaupt im oben geführten Beweis die zusammenhängende Komponente einfach als Teilraum von U auffassen kann und somit als offen annehmen kann? um auf den schluss zu gelangen, dass V auch offen in U ist?

Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Idiot
Ja ok das klingt gut. Nur sollten A geschnitten U mit A geschnitten V disjunkt sein oder?


Ja, das ist hier mit Zerlegung gemeint.

Zitat:
Die Frage ist doch aber, ob ich überhaupt im oben geführten Beweis die zusammenhängende Komponente einfach als Teilraum von U auffassen kann und somit als offen annehmen kann? um auf den schluss zu gelangen, dass V auch offen in U ist?


Du kannst und solltest zeigen, dass du das darfst. Wenn ihr es nicht schon irgendwie bewiesen habt, darfst du es nicht einfach so annehmen.

Zu zeigen wäre also:

A ist genau dann zusammenhängend bzgl. der Topologie auf X, wenn A zusammenhängend bzgl. der Teilraumtopologie auf A ist.

Grüße Abakus smile

edit: statt Zerlegung sollten wir dann genauer von disjunkter Zerlegung sprechen, ok.
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok. Das habe ich nun verstanden. Aber in diesem speziellen Fall ist ja als voraussetzung gegeben, dass A zusammenhängend ist. Ich mache aber die feststellung, dass A auch offen ist! Das ist meiner ansicht nach der kritische Punkt. Die offenheit von A in U muss ja per se nicht gegeben sein.
Auf der anderen Seite ist A natürlich als Teilraum offen. Das ist irgendwie merkwürdig.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Aus A zusammenhängend kannst du i.A. nicht folgern, dass A offen ist. Nicht einmal dann, wenn A eine Zusammenhangskomponente ist (in diesem Fall wäre A allerdings immerhin abgeschlossen).

Ansonsten ja, als Teilraum ist A (als ganzer Raum) in sich, offen.

Was du brauchst, ist demnach die obige Äquivalenz.

Grüße Abakus smile
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss doch folgendes zeigen:

f:U->R ist lokal konstant. Das heißt doch nach definition, dass zu jedem Punkt x aus U eine Umgebung V existiert, s.d. f|V konstant ist.

Gilt in einer Zusammenhangskomponente von U, dass jeder Punkt eine (offene) Umgebung besitzt, welche Teilmenge der Zusammenhangskomponente ist?


Gruß
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar ich hab es jetzt gelöst. Die Zusammenhangskomponenten sind sehr wohl offen in U, da U selbst offen ist.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Grüße
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Idiot
Gilt in einer Zusammenhangskomponente von U, dass jeder Punkt eine (offene) Umgebung besitzt, welche Teilmenge der Zusammenhangskomponente ist?


Nein, betrachte zB den Graph des Sinus in der reellen Ebene (mit euklidischer Topologie): er ist zusammenhängend, enthält aber gar keine offenen Umgebungen seiner Punkte.

Zitat:
Alles klar ich hab es jetzt gelöst. Die Zusammenhangskomponenten sind sehr wohl offen in U, da U selbst offen ist.


Der obige Graph ist zB in keiner offenen, ihn umfassenden Menge selbst offen.

Grüße Abakus smile
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