Teilmengenbeweise: Warum darf man das so machen?

28.10.2010, 19:49	mrburns	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengenbeweise: Warum darf man das so machen? Hallo Boardcommunity. Ich frage mich warum man folgendes machen kann wenn man beweisen will dass: $\begin{eqnarray} M \cap N=N \Rightarrow M \cup N= M \end{eqnarray}$ Anfürsich ist das nachvollziehbar. Der Beweis dass $\begin{eqnarray} M \subset M \cup N \end{eqnarray}$ ist trivial und ist erbracht worden. Bei der anderen Richtung verstehe ich diesen Schritt nicht: nach Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray} M \cap N= N \end{eqnarray}$ , dh $\begin{eqnarray} x \in M \wedge x \in N \Leftrightarrow x \in N \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \in M \vee x \in N \end{eqnarray}$ (Voraussetzung)-> $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in M \vee (x \in M \wedge x \in N) \Rightarrow x \in M \vee x \in M \end{eqnarray}$ Warum wird aus $\begin{eqnarray} (x \in M \wedge x \in N) \end{eqnarray}$ ,---> $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$
28.10.2010, 21:31	org	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teimengenbeweise: Warum darf man das so machen? Ich denke, das müsste so lauten: $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in M \vee (x \in M \wedge x \in N) \Rightarrow x \in M \end{eqnarray}$ Weil M Obermenge von MnN ist
28.10.2010, 21:40	mrburns	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlich antwortet mal einer... Hmmm, muss ich das im Beweis auch so angeben dass aus der Voraussetzung folgt, M n N=N -> M ist Obermenge. Ist das also wieder eine dieser trivialen Folgerungen??
28.10.2010, 21:47	org	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist trivialer, denn es gilt immer $\begin{eqnarray} A\cap B\subset A \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x\in A\cap B\Rightarrow x\in A,\ x\in B\Rightarrow x\in A \end{eqnarray}$
28.10.2010, 21:55	mrburns	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte man $\begin{eqnarray} A \cap B \subset A \end{eqnarray}$ dann nicht auch noch beweisen??
28.10.2010, 22:00	org	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ja, hab ich auch grad gemacht. Ist aber sehr einfach. Und je länger du studierst umso mehr werden so einfache Sachen weggelassen...
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28.10.2010, 22:10	mrburns	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, Gut, soviel dazu. Ich habe jetzt aber eine andere Frage, welche die Identität $\begin{eqnarray} id_x \end{eqnarray}$ betrifft. Warum heißt die Abbildung $\begin{eqnarray} id_x: X \to X, x \to x \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} id_x: X \to Y, x \to x \end{eqnarray}$ Soweit ich verstanden habe bildet Identität folgende Bilder: 1 -> 1 2 ->2 usw
28.10.2010, 22:15	org	Auf diesen Beitrag antworten »
damits bijektiv ist
28.10.2010, 22:22	mrburns	Auf diesen Beitrag antworten »
und woran erkennt man dass $\begin{eqnarray} id_x: X \to Y, x \to x \end{eqnarray}$ nicht bijektiv ist.
29.10.2010, 08:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} X=Y \end{eqnarray}$ ist, dann ist die Abbildung bijektiv. Wenn $\begin{eqnarray} X=\{1,2,3\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=\{8,\{8\},\heartsuit\} \end{eqnarray}$ ist, dann hat es keinen Sinn von einer Identität zu sprechen. btw.: In Zukunft bitte nur eine Aufgabe pro Thread! Gruß, Reksilat.

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