Beweis, das folgende Aussage immer gilt

28.10.2010, 22:39

ssb

Beweis, das folgende Aussage immer gilt

Meine Frage:
Hallo! Die Aussage lautet:

$\begin{eqnarray*} \exists x \in M : (P(x) \Rightarrow \forall y \in M : P(y)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass ich glaube einen gegenbeweis gefunden zu haben. Also das die Aussage NICHT immer stimmt. Das wird zwar nicht stimmen, aber bevor ich weiß wo mein Denkfehler ist, komme ich nicht weiter. Also ich habe so argumentiert für den Gegenbeweis:

sei $\begin{eqnarray*} M=:{1,2,3}, P(x)=: x < 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(y)=: y < 3 \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} \exists x \in M : (x<4 \Rightarrow \forall y \in M: y > 3) \end{eqnarray*}$
dann kann die Aussage nicht stimmen, weil die Aussage $\begin{eqnarray*} x<4 \Rightarrow \forall y \in M: y > 3 \end{eqnarray*}$ immer falsch ist.

28.10.2010, 22:42

supasnashbuhl

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ich meinte unten natürlich

sei $\begin{eqnarray*} M=:\{1,2,3 \} \end{eqnarray*}$

sorry

29.10.2010, 08:53

Reksilat

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Die Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ haben außerhalb der Aussage keinerlei Bedeutung (siehe Skopus). Es ist insofern nicht sinnvoll, die Aussage $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ separat zu definieren. Was soll denn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} P(3) \end{eqnarray*}$ sein? Nach der einen Definition ist es bei Dir wahr und nach der anderen falsch. Der Wahrheitswert von $\begin{eqnarray*} P(3) \end{eqnarray*}$ muss aber eindeutig sein, sonst kann man keine Mathematik betreiben.

Selbst wenn Du Dir jetzt irgendwie die Aussage $\begin{eqnarray*} P(x)=... \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ definierst, so hat das rein gar nichts damit zu tun, dass in der Aussage der Aufgabenstellung auch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht. Man könnte es oben nämlich auch $\begin{eqnarray*} \alpha, \heartsuit \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \text{Honigkuchenpferd} \end{eqnarray*}$ nennen, ohne die Aussage zu verändern.

Übrigens: Die obige Aussage stimmt. Das mit dem Gegenbeispiel wird also schwer. Mach lieber eine Fallunterscheidung nach den möglichen Wahrheitswerten der Aussage $\begin{eqnarray*} \forall y\in M:P(y) \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

01.11.2010, 00:11

supasnashbuhl

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naja die Fallunterscheidung ist ja schnell gemacht..
1. Fall: Wahr
2. Fall: Falsch

Aber ich seh nicht wirklich wie das mich weiter bringt.. unglücklich

Wenn die P(x) immer falsch wäre dann wäre es ja kein problem zu zeigen dass der gesamtausdruck damit immer wahr sein muss. Aus falsch kann man ja alles folgern und es ist wahr. Ich müsste jetzt nur irgendwie erkennen, dass P(x) nur falsch sein kann.. Kann mir jemand einen anstupser geben? smile

01.11.2010, 00:17

supasnashbuhl

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Aha ja jetzt dämmerts bei mir langsam.. P ist ja das selbe für x und y. Also z.B. < 4 Wenn es nicht für alle y zutrifft dann muss es ja auch ein x geben (da sowohl y als auch x in M) für welches P nicht gilt, also ist die aussage richtig (aus falsch folgt falsch = richtig), wenn es für alle y zutrifft, dann gibt es natürlich auch ein x geben (und zwar egal welches) für welches P zutrifft. Also wieder richtig (aus richtig folgt richtig = richtig). Vielleicht ist das ja auch völliger schwachsinn den ich hier erzähle.. Big Laugh

Wenn das richtig sein sollte müsste ich nur wissen wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben soll...??

01.11.2010, 08:50

Reksilat

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Prima.

Du hast die Fallunterscheidung schon ganz richtig erkannt. Einen kleinen Haken hat die Sache noch, welchen ich oben vergessen habe: Die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ darf natürlich nicht leer sein, denn sonst ist die Aussage offenbar falsch.

Zum Aufschrieb:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} \forall y\in M:P(y) \end{eqnarray*}$ ist wahr
Dann ist auch $\begin{eqnarray*} (P(x) \Rightarrow \forall y \in M : P(y)) \end{eqnarray*}$ immer wahr (eine wahre Aussage lässt sich aus allem folgern), egal wie ich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wähle. Wenn also $\begin{eqnarray*} M\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist, so wird sich auch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ finden lassen.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \forall y\in M:P(y) \end{eqnarray*}$ ist falsch
Negiere diese Teilaussage mal, dann wirst Du ein passendes $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ finden können, so dass die ganze Aussage wahr wird.

Gruß,
Reksilat.

02.11.2010, 22:42

Erdi20

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Ich habe das Problem bei selben Frage könnt ihr mir das nochmal richtig erklären weil ich blick da echt net durch ich kann mir diese Logik irgendwie schwer aneignen. unglücklich

ich bin echt am Ende mit meinem Latein

03.11.2010, 09:27

Reksilat

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@Erdi: Was denkst Du denn, was wir hier bisher gemacht haben? Wir haben diese Aufgabe diskutiert - eine bessere Hilfe ist kaum vorstellbar.
Stell bitte eine konkrete Frage. Mit "Ich versteh gar nichts" wirst Du keinen Helfer motivieren können. Schon gar nicht, wenn hier schon eine Weile über die Aufgabe diskutiert worden ist.

Gruß,
Reksilat.

03.11.2010, 12:16

Erdi20

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Ehm ok hast recht. smile

Also was ich meinte ist wenn ich diese Aufgabe vor mir liegen habe wie ist es am besten an die Aufgabe ranzugehen? Was ich z.b. im Kopf habe ist das du den Implikationspfeil die rechte Seite also P(y) immer wahr sein muss damit die komplette Aussage wahr ist. Doch ihr habt ne Fallunterscheidung gemacht. Und ich weiss nicht mal was eine Fallunterscheidung ist unglücklich

Mir fehlt halt die Basic
und ich frage mich ob ihr mir vllt helfen könnt diese Basic aufzubauen damit ich an nicht nur die sondern auch andere Aufgaben herangehen kann.

Wenn du ein Beispiel für eine leichtere Aufgabe kennst die wir erstmal diskutieren sollten dann nur her damit es kann mir nur helfen Big Laugh

03.11.2010, 15:56

Reksilat

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Zitat:

Original von Erdi20
Was ich z.b. im Kopf habe ist das du den Implikationspfeil die rechte Seite also P(y) immer wahr sein muss damit die komplette Aussage wahr ist.

Und das ist eben hier der Knackpunkt. P(y) muss eben nicht immer wahr sein, denn man kann auch etwas falsches aus etwas falschem folgern.

Zum Beispiel kann ich aus der (falschen) Aussage 5=6 ganz leicht folgern, dass auch 6=7 ist (zu beiden Seiten die 1 addieren).

Also: Aus etwas wahrem kann man nur etwas wahres folgern. Aus etwas falschem aber alles mögliche.

Gruß,
Reksilat.

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