Jordannormalform

29.10.2010, 15:34

Vanylar

Jordannormalform

Hallo,habe folgende Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} N \in End_K (V) \end{eqnarray*}$ nilpotent. Wir definieren,wie in der Vorlesung, $\begin{eqnarray*} V_k:= ker(N^k) \end{eqnarray*}$ .
Es sei

$\begin{eqnarray*} dim(V_1)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(V_2)=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(V_3)=12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(V_4)=13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(V_5)=13 \end{eqnarray*}$

Geben Sie die Jordansche Normalform von N an.Begründen Sie ihre Antwort.

Da N nilpotent ist,wissen wir schon mal,dass N nur den Eigenwert 0 hat.
Gebe zu,dass ich das mit der Jordanform noch nicht so ganz kapiert habe,vor allem nicht,warum $\begin{eqnarray*} V_k:= ker(N^k) \end{eqnarray*}$ gilt und wie mir das bei der Aufgabe nun weiterhelfen soll. Eigentlich gibt die Dimension doch Auskunft über die Anzahl der Jordankästchen.
Für Hilfe wäre ich daher sehr dankbar.

29.10.2010, 15:38

kiste

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RE: Jordannormalform

Zitat:

Original von Vanylar,warum $\begin{eqnarray*} V_k:= ker(N^k) \end{eqnarray*}$ gilt

Das ist eine Definition, keine Aussage.
Kennst du die Formel um aus deinen Dimensionen die Anzahl der Jordankästchen einer bestimmten Größe zu bestimmen?

29.10.2010, 16:00

Vanylar

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Bin mir nicht sicher. Ich kenne nur $\begin{eqnarray*} dim (ker(A-\lambda\cdot E) \end{eqnarray*}$ , (wobei A eine Matrix und lambda der Eigenwert ist) und dann weiß ich wieviel Jordankästchen ich zu gegebenem Eigenwert erhalte.

29.10.2010, 17:14

kiste

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Ja aber genau das hast du doch hier gegeben. Lambda ist doch 0

29.10.2010, 18:10

Vanylar

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Ok,wahrscheinlich denk ich nur mal wieder zu kompliziert...
Also hätte $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ dann die Jordanform $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

29.10.2010, 18:11

kiste

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V_1 ist ein Vektorraum, keine Abbildung...

29.10.2010, 18:20

Vanylar

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Mhm, dann weiß ich leider nicht mehr weiter unglücklich

30.10.2010, 00:04

kiste

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Du suchst eine JNF von N, nicht von V_k!
Dazu gibt es eine Formel zum bestimmen der Anzahl der Jordanblöcke einer bestimmten Größe(s. z.B. Wikipedia). Diese Formel benutzt lediglich die Dimensionen der V_k. Diese hast du aber gegeben. Der Rest ist nur noch einsetzen

30.10.2010, 13:48

Vanylar

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Ich glaub, ich versteh die Aufgabe nicht mal richtig. Was stellen die V_k eigentlich dar? Sollen das Unterräume von V sein? Oder anders ausgedrückt: Suche ich die JNF von einem N oder von fünf verschiedenen N?

30.10.2010, 16:08

kiste

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Du suchst die JNF von N. Die V_i sind die Haupträume von N

30.10.2010, 16:53

Vanylar

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Okay, weiß dennoch nicht, wie ich nun weitermachen soll, geb's jetzt auf, trotzdem vielen Dank.

30.10.2010, 17:13

Reneee

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Also da ich an der selben Aufgabe sitze wollte ich mal frech mit- / weitermachen. ^^

Zitat:

Kennst du die Formel um aus deinen Dimensionen die Anzahl der Jordankästchen einer bestimmten Größe zu bestimmen?

Die Größe der Jordankästchen entspricht ja in der Regel einfach der Anzahl der Eigenwerte, also der Vielfachheit ( welche Vielfachheit war das denn nochmal? )

Wir wissen also , dass der erste Block oben links 5 Kästchen enthält, dann der zweite Block 9 etc.

Ist das so richtig? Das würde ja eine verdammt große Matrix ergeben hm. verwirrt

31.10.2010, 20:31

Reneee

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Könnte uns bitte jemand weiterhelfen? ^^
Diese ganze Jordan Normalform ist ja mit Sicherheit etwas Wichtiges, was ich auch gerne berrschen würde. X_X

Sry fürs pushen. ^^

31.10.2010, 21:49

jester.

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Das Transformieren einer Matrix in ihre JNF geschieht, indem man die Matrix bezüglich einer geeigneten Basis bestehend aus Eigen- und Hauptvektoren darstellt (was nun geeignet heißt und wie man eine solche Basis findet, steht noch einmal auf einem ganz anderen Blatt). Dabei unterschiedet man die Hauptvektoren nach ihrer "Länge" (das sind jetzt allesamt Begriffe, so wie ich sie gelernt habe, möglicherweise verwendet ihr in eurer Vorlesung andere Bezeichnungen). Zum Begriff der Länge. Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit zugehörigem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Dann sage ich der Hauptvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hat die Länge $\begin{eqnarray*} \ell \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} (A-\lambda)^\ell v=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A- \lambda)^k v \neq 0 ~ \forall ~ k< \ell \end{eqnarray*}$ .
Die größte vorkommende Länge $\begin{eqnarray*} \ell \end{eqnarray*}$ liefert nun schonmal die Größe des größten Jordanblocks, der in der JNF vorkommt. Denn wenn man die Jordanbasis bestimmen möchte, sortiert man die Vektoren (absteigend - so habe ich es gelernt, das ist wohl Geschmacksache und ziemlich egal) nach ihrer Länge, und zwar so, dass man zunächst einen Vektor größter Länge hat, dann einen nächstkleinerer Länge usw. bis zur Länge 1 (was einem Eigenvektor entspricht). Dann fängt man mit einem verbleibenden Vektor größter Länge wieder an (das ist zwar jetzt nur die halbe Wahrheit zur Bestimmung der Jordanbasis, aber es genügt hier so für das Lösen der Aufgabe).

Hier, bei der vorgegeben Matrix $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sind wir in einem angenehmen Fall: die Matrix ist nilpotent und 0 ist somit der einzige Eigenwert. Das heißt es gibt ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N^k=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wird also irgendwann zur Nullmatrix.
Somit haben wir folgende Situation vorliegen: $\begin{eqnarray*} \{0\} \leq \underbrace{\ker(A)}_{=V_1} \leq \underbrace{\ker(A^2)}_{=V_2} \leq ... \leq \ker(A^k)=V_k=V \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich geben die vorgegebenen Dimensionen der $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ nun Aufschluss über die Anzahl von Hauptvektoren mit bestimmter Länge.
Zum Beispiel sagt uns $\begin{eqnarray*} \dim(V_1)=5 \end{eqnarray*}$ , dass es 5 linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Die folgenden Dimensionen geben dann Aufschluss über die folgenden Längen.

An den Dimensionen von $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_5 \end{eqnarray*}$ kann man ablesen, dass das Format der gesuchten Matrix $\begin{eqnarray*} 13\times 13 \end{eqnarray*}$ ist.

Vielleicht helfen euch diese Erklärungen ja schon weiter. Trotzdem solltet ihr euer Skript zu diesem Thema noch einmal sehr genau durchlesen, denn die Erklärung, die ich gegeben habe, ist bestenfalls oberflächlich.

Vielleicht noch ein kleines Beispiel, damit ihr das ganze besser nachvollziehen könnt. Sagen wir mal, dass wir in obiger Notation (und natürlich ebenfalls im Fall einer nilpotenten Matrix) $\begin{eqnarray*} \dim(V_1)=2, ~\dim(V_2)=3, ~\dim(V_3)=3 \end{eqnarray*}$ vorliegen haben. Das sagt mir, dass es sich um eine $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ -Matrix handelt, die zwei l.u. Eigenvektoren und einen Hauptvektor der Länge 2 hat. Wenn ich diesen als $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ bezeichne und die zwei Eigenvektoren als $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ , dann hat eine (geeignet angepasste) Jordanbasis die schematisch zu verstehende Gestalt $\begin{eqnarray*} (v_2,v_1,w_1) \end{eqnarray*}$ und die Matrix hat die JNF $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&& \\ 1&0 & \\ &&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

31.10.2010, 22:16

Reneee

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Danke für die Antwort , beim ersten Mal hab ich zwar noch nicht alles verstanden , aber nach dem 7.ten mal wirds vielleicht besser. Mal schauen. smile

02.11.2010, 13:31

Geolin

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ich sitze an der selben aufgabe, aber bin genauso ratlos wie meine kommilitonen.

Als 1. müssen die Eigenwerte bestimmt werden, richtig? Aufgrund der nilpotenz, ist der einzige Eigenwert 0.

Als 2. muss die länge der eigenvektoren bestimmt werden. Ich habe mal im skript nachgesehen und wir haben die länge noch gar nicht definiert, auch nicht unter einem anderen namen. Gibt es vllt noch eine andere Möglichkeit?

02.11.2010, 20:35

Reneee

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Hey , also ich denke ich habs. Manchmal sind Skirpte halt nicht das Beste. smile

Also die Matrix ist ja eine 13 x 13 Matrix und wie du bereits weißt haben wir nur Nullen auf der Hauptdiagonalen. Nun haben wir da gesagt, dass über der Hauptdiagonale Einsen hinkommen, die Frage ist halt wohin. Dafür habe ich folgende Methode gezeigt bekommen :

Du schaust dir erstmal die beiden Hinteren an.

dim ( V5 ) = 13 = dim ( V4)

Bildest du nun die Differenz :

13 - 13 = 0

Also hast du 0 mal einen 5er Block

Nun weiter rückwärts :

13 - 12 = 1

Also hast du einen 4er Block

12 - 9 = 3

Also bekommst du 3 3er Blöcke , da du aber schon einen ( im 4er Block ) hast, bekommst du für deine JNF 2 3er Blöcke !

Dann halt 9 - 5 = 4

Also bekommst du 4 2er Blöcke , da du aber schon einen im 4er Block und 2 davon im 3er Block hast, bekommst du einen 2er Block für deine JNF.

Am Ende hast du also dann noch einen 1er Block übrig.

Und zum Schluss noch : Fragt mich um Gottes Willen nicht, woher dieses System kommt und wieso / ob es gilt , ich habe keine Ahnung. Jemand Komilitone war im LUDI und hat es dort so ohne Erklärung gezeigt bekommen. smile

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