Beweis mit det= 0 und allgemeinen Variablen

29.10.2010, 16:50	wirtschaftsmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit det= 0 und allgemeinen Variablen Also ich komme bei folgender Aufgabe im Moment einfach nicht weiter, da ein Mathe Studium anfangs doch eine recht große Umstellung ist: aufgabe: 2 Vektoren a = (a_1, a_2, ......, a_n) und b = ( b_1.....b_n) im n dimensionalen reelen Zahlenraum mit n element der natürlichen Zahlen ist gegeben. man soll beweisen dass alle Paare (i,j) mit $\begin{eqnarray} 1\leq i < j \leq n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_i & a_j\\ b_i & b_j \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ = 0 äquivalent , also <-> $\begin{eqnarray} \mathbb R a =\mathbb R b \end{eqnarray}$ Ich weiß zwar , dass ich beide implikationen beweisen muss, allerdings weiß ich erstens nicht was die rechte Seite bedeutet und wie ich anfangen soll. Bitte um Hilfe!
29.10.2010, 17:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann nur raten: Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Ra = \mathbb Rb \end{eqnarray}$ genau dann gilt, wenn $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_i & a_j\\ b_i & b_j \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1\leq i \leq j \leq n \end{eqnarray}$ gilt? Aber es fehlt noch die Bedingung, dass $\begin{eqnarray} a,b \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt. Denn sonst wähle $\begin{eqnarray} a=(0,0,...,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=(1,1,...,1) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \mathbb Ra \neq \mathbb Rb \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_i & a_j\\ b_i & b_j \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1\leq i \leq j \leq n \end{eqnarray}$
29.10.2010, 17:19	wirtschaftsmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig geraten.....?...... nur gilt dies für alle Paare (i,j) und das soll man zeigen.... Was bringt mir a,b ist nicht gleich null ich kann ja auch a = (1,1,1....) und b = (2,2,2.....) bringen da ist a doch auch nicht gleich b?? Sind bei dieser Aufgabe Fallunterscheidungen nötig?
29.10.2010, 17:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja man könnte Fallunterscheidungen machen. 1. Fall a=b=0: trivial 2. Fall $\begin{eqnarray} a \neq 0, b \neq 0 \end{eqnarray}$ Und wie schon gesagt: der 3. Fall - $\begin{eqnarray} a = 0, b \neq 0 \end{eqnarray}$ - klappt nicht, da dann die Aussage falsch wird.
29.10.2010, 17:31	wirtschaftsmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: die Eingrenzung für die INdizes von i, j bringt mir was?? Und ist somit nicht die Determinante gegeben mit $\begin{eqnarray} a_{i}b_{j} - b_{i}a_{j} = 0?? \end{eqnarray}$ Dann müsste man also im 1.fall a,b = 0 und den 2.ten Fall a,b ungleich 0 jeweils mit Annahmen det = 0 oder $\begin{eqnarray} \mathbb R a=\mathbb R b \end{eqnarray}$ beginnen?
29.10.2010, 19:22	wirtschaftsmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
So also ich brauche jetzt Hilfe beim weiteren Schritt.....ich schreibe jetzt mal meinen formalen Beweisanfang auf: Vorraussetzung: $\begin{eqnarray} a = \left(a_{1}...a_{n} \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = \left(b_{1}...b_{n} \right) \end{eqnarray}$ als 2 Vektoren in $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq i<j\leq n \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_i & a_j \\ b_i & b_j\end{vmatrix} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray}$ (äquivalent) $\begin{eqnarray} \mathbb R a= \mathbb R b \end{eqnarray}$ Beweis: " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Annahme : det = 0 = $\begin{eqnarray} a_{i} b_{j}-a_{j}b_{i} \end{eqnarray}$ z.Z. $\begin{eqnarray} \mathbb R a= \mathbb R b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{i} b_{j}=a_{j}b_{i} \end{eqnarray}$ Wie sollte ich jetzt weiter machen?? Bitte um Tipps!
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30.10.2010, 10:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du denn, was $\begin{eqnarray} \mathbb Ra=\mathbb Rb \end{eqnarray}$ bedeutet?
31.10.2010, 11:52	wirtschaftsmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja : $\begin{eqnarray} \lambda a=\gamma b \end{eqnarray}$ Die Frage ist wie komme ich über die Determinante auf den Beweis für diese Form.....mit welchen Fallunterscheidungen ( lambda und gamma element reeler Zahlen......was ist mit der 0=?)

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