Parametrisierung einer Kurve nach Bogenlänge

29.10.2010, 19:07

SternchenJulia

Parametrisierung einer Kurve nach Bogenlänge

Meine Frage:
Guten Abend,
wir sollen folgende Kurven nach Bogenlänge parametrisieren:
(a) t-> (1+cosh(t),cos(t),1-sin(t)
(b) t -> (1/2 t²,2t, 4/3 t hoch 3/2)

Meine Ideen:
Ich bin soweit, dass ich das Integral gebildet habe von der Länge der Ableitung der Kurve und auf folgendes komme:
(a) s(t) = cosh (t)-1 -> cosh (t(s) = s+1
Jetzt muss das ganze ja nach t(s) aufgelöst werden
und hier ist mein Problem. Wie bekomme ich den cosh weg?
(b) für das Integral erhalte ich folgendes:
s(t)= 1/2t²+2t, jetzt hab ich die Gleichung mit 2 malgenommen
0=t²-4t-2s, kann ich jetzt einfach die pq-Formel anwenden?
aber wie gehe ich dann weiter vor? Muss ich dann zwei Gleichungen behandeln?
Danke schonmal für die Tipps.
Julia
PS: noch eine Frage nebenbei 2 * Wurzel aus (1-cost),
wie kann ich das noch weiter vereinfachen, ist für eine andere Aufgabe Augenzwinkern

29.10.2010, 20:24

riwe

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RE: Parametrisierung einer Kurve nach Bogenlänge
ich denke Augenzwinkern

du hast dich bei a) verrechnet.
$\begin{eqnarray*} s=sinh(t) \end{eqnarray*}$ erhalte ich, muß aber nicht stimmen
ich verrechne mich (auch) gerne

zum P.S. $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{1-cost}=2\sqrt{2}\cdot sin\frac{t}{2} \end{eqnarray*}$

das bekommt man mit $\begin{eqnarray*} cost=cos(2\cdot\frac{t}{2}) \end{eqnarray*}$

30.10.2010, 10:10

SternchenJulia

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Okay, dann mal zu a) meine Herleitung:
$\begin{eqnarray*} s(t) = \int_0^\infty \! \sqrt{sinh^2 (t) + sin^2(t)+cos^2(t)} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = \int_0^\infty \! \sqrt{sinh^2 (t) +1} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = \int_0^\infty \! cosh^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = \left[cosh t\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

30.10.2010, 10:31

riwe

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Zitat:

Original von SternchenJulia
Okay, dann mal zu a) meine Herleitung:
$\begin{eqnarray*} s(t) = \int_0^\infty \! \sqrt{sinh^2 (t) + sin^2(t)+cos^2(t)} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = \int_0^\infty \! \sqrt{sinh^2 (t) +1} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = \int_0^\infty \! cosh^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) = \left[cosh t\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

hast du da nicht die wurzel vergessen Augenzwinkern

(wobei ich sehr stark bezweifle, dass das integral von cosh²t wirklich cosht ist)

30.10.2010, 13:21

SternchenJulia

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ähm, ja, ich glaube du hast recht, immer diese doofen Minifehler,
die schleichen sich immer ein.
und dann geht das ganze gegen unendlich,
weil $\begin{eqnarray*} sinh(\infty )=\infty \end{eqnarray*}$

30.10.2010, 13:29

SternchenJulia

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okay,
dann hab ich das nun zum Glück schonmal richtig,
aver wie löse ich jetzt die Gleichung
$\begin{eqnarray*} s(t) = sinh (t) \end{eqnarray*}$ nach t auf?
Kann man dann einfach $\begin{eqnarray*} arcsin (s(t)) = t(s) \end{eqnarray*}$ machen oder denke ich da zu einfach?
Und nochmal zur b) darf ich da einfach pq-Formel anwenden?
Danke für die Hilfe
Julia

30.10.2010, 14:15

Leopold

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Die obere Grenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Sie muß $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ heißen. Dann sollte auch die Integrationsvariable umbenannt werden, also

$\begin{eqnarray*} s = \int_0^t \cosh \tau ~ \dd \tau = \sinh t \end{eqnarray*}$

Man kann die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \sinh \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Logarithmen ausdrücken (siehe hier). Zur weiteren Rechnung ist das aber gar nicht nötig. Du kannst einfach

$\begin{eqnarray*} t = \operatorname{arsinh}(s) \end{eqnarray*}$

schreiben. Allerdings läßt sich dann später beim Einsetzen $\begin{eqnarray*} \cosh \left( \operatorname{arsinh}(s) \right) \end{eqnarray*}$ vereinfachen. Drücke gemäß der kanonischen Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sinh \end{eqnarray*}$ aus.

31.10.2010, 08:33

SternchenJulia

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ähm, wieso muss ich das denn weiter umformen?
Bzw was muss ich denn da wo einsetzen?
Das einzige was ich noch rausbekommen muss sind die Ränder und da setzte ich doch in die Gleichung $\begin{eqnarray*} s(t) = sinh (t) \end{eqnarray*}$
die Grenzen, die für die ursprüngliche Kurve gelten ein, also $\begin{eqnarray*} 0 bis \infty \end{eqnarray*}$ .
Zumindest haben wir das so in der Vorlesung an einem Beispiel besprochen.

31.10.2010, 12:25

Lampe16

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Wenn Du jetzt überall in der Aufgabenstellung t durch $\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh}(s) \end{eqnarray*}$ ersetzt, ist die Aufgabe gelöst.

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