Lemma von Fatou

12.11.2006, 20:45

Seb17

Lemma von Fatou

Guten Abend! Habe hier noch folgende Aufgabe, die mir etwas den Kopf zerbricht ... Wäre um jede Hilfe dankbar Augenzwinkern

Zitat:

Es seinen $\begin{eqnarray*} \Omega\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma-Algebra \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} X_n:\Omega\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} X_n:=\begin{cases} 1_A, \text{falls n gerade}\\ 1_{A^c}, \text{falls n ungerade}\end{cases}. \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zu zeigen: Für jedes Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} min\{\mu(A),\mu{(A^c)}\}>0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \int\liminf_{n\to\infty} X_n d\mu < \liminf_{n\to\infty}\int X_n d\mu. \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe soll laut Aufgabenstellung zeigen, dass beim Lemma von Fatou im Allgemeinen keine Gleichheit gelten muss. Bis jetzt habe ich mir überlegt, dass ich zwei Fälle betrachte.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} n\ gerade\ \ \ \ \Rightarrow X_n(\omega)=1_A(\omega) \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} n\ ungerade\Rightarrow X_n(\omega)=1_{A^c}(\omega) \end{eqnarray*}$ .

Als nächstes muss ich das ja sicher irgendwie abschätzen und zeigen, dass in beiden Fällen nie eine Gleichheit entstehen kann, aber wie? Habt ihr Denkanstöße für mich? Danke, mfG, Seb17 Augenzwinkern

12.11.2006, 20:57

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Zunächst mal meinst du sicherlich

$\begin{eqnarray*} \int\liminf_{n\to\infty} X_n d\mu < \liminf_{n\to\infty}\int X_n d\mu. \end{eqnarray*}$

Rechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ aus, es gibt ja nur die zwei Fälle $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \omega\not\in A \end{eqnarray*}$ .

12.11.2006, 21:21

Seb17

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Hallo Arthur! Du hast natürlich Recht mit der Aufgabenstellung Augenzwinkern

Also:

Wenn ich Fall 1 betrachte (n gerade), dann betrachte ich also wieder zwei Fälle:

1) $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \omega\notin A \end{eqnarray*}$

Gilt Fall 1, dann ist $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ , sonst $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist doch $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} 1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}0=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int 1\ d\mu = 1 \cdot\mu(A)=\mu(A) \end{eqnarray*}$ nach Definition des $\begin{eqnarray*} \mu-Integrals \end{eqnarray*}$ für Treppenfunktionen.

Folglich ist $\begin{eqnarray*} \int 0\ d\mu=0. \end{eqnarray*}$ Stimmt bis hierher alles?

Gruß, Seb17 Augenzwinkern

12.11.2006, 21:32

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Zitat:

Original von Seb17
1) $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \omega\notin A \end{eqnarray*}$

Gilt Fall 1, dann ist $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ , sonst $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist doch $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} 1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}0=0 \end{eqnarray*}$ .

Keine Ahnung, was letztere Aussage mit $\begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ zu tun haben soll... verwirrt

Um es kurz zu machen: Für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$ , denn einmal ist der Limes Inferior der Zahlenfolge

0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

zu bilden, im anderen Fall der von

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

Beidesmal kommt 0 heraus.

12.11.2006, 21:48

Seb17

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Ahh, da hat sich noch ein Aufg.st.fehler eingeschlichen, gemeint war natürlich $\begin{eqnarray*} 1_{A^c} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1_A^c \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Hoffe, dadurch sind deine Ausführungen nicht ungültig ... *gg* tut mir Leid ...

12.11.2006, 21:55

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Zitat:

Original von Seb17
gemeint war natürlich $\begin{eqnarray*} 1_{A^c} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1_A^c \end{eqnarray*}$

So hab ich das sowieso von Anfang an gelesen, denn $\begin{eqnarray*} 1_A^c \end{eqnarray*}$ ist ja völliger Käse. Augenzwinkern

13.11.2006, 02:20

Seb17

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Ich glaube, dass ich die Aufgabe jetzt soweit gelöst habe:

Darf ich das bei der rechten Seite der Ungleichung so aufschreiben? Ist das mathematisch korrekt?

1. Fall: $\begin{eqnarray*} n\ ungerade\Rightarrow\int 1_{A^c}\ d\mu = 0\cdot \mu(A)+1\cdot\mu(A^c)=\mu(A^c). \end{eqnarray*}$

2. Fall: Analog, sodass hier $\begin{eqnarray*} \int 1_{A}\ d\mu=\mu(A) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int X_n(\omega)\ d\mu(\omega)=\begin{cases} \mu(A), &\text{falls n gerade}\\ \mu(A^c), &\text{falls n ungerade}.\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\liminf_{n\to\infty}\int X_n(\omega)\ d\mu(\omega)=min\{\mu(A),\mu(A^c)\}>0\ nach\ Aufgabenstellung\Rightarrow Behauptung. \end{eqnarray*}$

Wie immer, vielen Dank im Voraus für die Korrekturen Augenzwinkern

Seb17

13.11.2006, 07:31

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Jo, jetzt bist du in der richtigen Spur. Alles korrekt. Freude

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