Beschränktheit und Supremum einer Menge

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30.10.2010, 15:32	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit und Supremum einer Menge Zeigen Sie, dass die Menge {ab\|a²+b² kleiner gleich 1, a, b element Reellen Zahlen} beschränkt ist und bestimmen Sie ihr Supremum. Idee: Hm... Ich hätte jetzt erstmal ausprobiert was ich für a und b alles einsetzen kann damit a²+b² kleiner gleich 1 stimmt. Da gibt es aber unendlich viele Möglichkeiten... und dann hätte ich geschaut ob es eben offen oder beschränkt ist, indem ich schaue ob es eine Zahl z gibt element reellen Zahlen mit \|ab\| kleiner gleich z für alle a,b element z Keine Ahnung aber wie ich das alles machen soll....
30.10.2010, 15:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du, was die Menge aller Paare $\begin{eqnarray} (a,b) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 \leq 1 \end{eqnarray}$ geometrisch darstellt? Letztlich hast du hier eine Extremwertaufgabe mit einer Nebenbedingung zu lösen. Vielleicht hilft $\begin{eqnarray} (ab)^2 = \frac{1}{4} \left( \left( a^2 + b^2 \right)^2 - \left( a^2 - b^2 \right)^2 \right) \end{eqnarray}$
30.10.2010, 15:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sind (unendlich) viele Zahlen a,b für die a²+b²<=1 ist, aber aus der analytischen Geometrie kennen wir doch die Punkte, für die a²+b²=1 und auch die Punkte für die a²+b²<=1 gilt. Hinweis: Diese Punkte sind nicht weit weg vom Nullpunkt.
30.10.2010, 15:57	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee keine Ahnung was das für eine geometrische Figur ist wenn es jetzt nur a² wäre wäre es ja eine Parabel aber a²+b² wäre ja zwei parabeln addiert...
30.10.2010, 15:58	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
limes gegen 0??
30.10.2010, 16:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nie von x²+y²=r² gehört ?
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30.10.2010, 16:01	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
ach Pythagoras?
30.10.2010, 16:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
... eher Thales
30.10.2010, 16:05	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh aber irgendwie immer noch Bahnhof sry
30.10.2010, 16:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Thaleskreis" ... x²+y²=r² ist ein Kreis um den Nullpunkt mit Radius r .
30.10.2010, 16:16	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja der Kreis mit dem rechten Winkel aber was bringt mir das in dieser Aufgabe bringt mir der Thaleskreis hier weiter?
31.10.2010, 12:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nichts. Ich bringe dich weiter. x²+y²=r² ist ein Kreis um den Nullpunkt mit Radius r. Der Thales sollte dich nur auf diese Tatsache stossen, weil du nicht selbst darauf gekommen bist, dass das ein Kreis ist.
31.10.2010, 21:10	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Und nun? Ich weiß überhaupt nicht wie ich beginnen soll
01.11.2010, 09:21	Matheblüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok jetzt hab ich nocheinmal eine Nacht drüber geschlafen und bin auf folgenden Ideen gekommen: Angabe K:={ab\|a²+b²<=1,a,b element reelle Zahlen} Zu zeigen: Menge K ist beschränkt Beweis: a²+b²=r² stellt geometrisch den Thaleskreis dar, wobei r der Radius des Kreises ist. a²+b²<=1 Dies bedeudet, dass der Radius des Kreises kleiner gleich 1 ist. a²+b² ist immer positiv, da die Exponenten gerade sind, daher ist der Radius immer größer gleich 0. Somit gilt: 0<=a²+b²<=1 --> Menge K ist beschränkt, da sie in einem endlichen Intervall [0,1] liegt und es ein z element reele Zahlen gibt, wobei \|ab\|<=z für alle \|ab\| element K Supremum bestimmen: Supremum =1 Liege ich völlig falsch?
01.11.2010, 13:29	Slin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, dass das kein gültiger Beweis ist.
01.11.2010, 16:57	Slin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich bin jetzt hier. Ok das was Matheblüte geschrieben hat ist das korrekt? Und was hat das mit der Extremwertaufgabe auf sich?
02.11.2010, 20:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \{(a,b)\in\mathbb R^2\|a^2+b^2<=1\} \end{eqnarray}$ ist die Fläche des Kreises mit Radius 1 um den Nullpunkt, weil a²+b²=1 der "Einheitskreis" ist. Also liegen a und b zwischen -1 und +1 (jeweils einschließlich). Kann das Produkt von 2 Zahlen, deren Betrag höchstens 1 ist, betragsmässig größer als (z.B.) 42 sein ? Wenn die Antwort auf diese große Frage "nein" lautet, ist K beschränkt. Bleibt nur noch das Supremum zu berechnen.

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