f ist surjektiv wenn f(X)=Y

30.10.2010, 18:21

mrburns

f ist surjektiv wenn f(X)=Y

Ich hätte da eine Frage zu dieser Notation,
Man sagt eine Abbildung sei surjektiv <--> f(X)=Y
Was drückt aber diese Notation in Worten aus?

Meine Vermutung: Da f(X) das Bild von X unter f ist und X auch die Menge aller Urbilder ist und per Def. eine surjektive Abbildung dann eine ist wenn alle Y aus der Bildmenge auch mindestens ein Urbild haben, so vermute ich f(X)=Y drückt aus dass das Bild von x unter f identisch ist mit der Menge Y des Wertebreichs.
ABer vermutlich ist das alles was ich gesagt habe sowieso falsch und daher Frage ich lieber nach.

30.10.2010, 18:25

Airblader

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Doch, das haut schon hin.
Surjektivität wird i.d.R. darüber definiert, dass man sagt, dass die Funktion surjektiv ist, wenn es zu jedem y aus Y ein x aus X gibt mit f(x)=y, d.h. wenn jedes Element aus Y wirklich getroffen wird.

Wenn nun f(X)=Y ist, dann sagt das ja gerade, dass wenn du alle x aus X abbildest, du jedes Einzelne y aus Y triffst. Und das bedeutet, dass jedes y aus Y auch wirklich ein Urbild unter f besitzt - also surjektiv ist.

Gelegentlich wird f(X)=Y sogar als Definition der Surjektivität verwendet.

air

30.10.2010, 18:49

mrburns

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Zitat:

Wenn nun f(X)=Y ist, dann sagt das ja gerade, dass wenn du alle x aus X abbildest, du jedes Einzelne y aus Y triffst. Und das bedeutet, dass jedes y aus Y auch wirklich ein Urbild unter f besitzt - also surjektiv ist.

Das ist eine wunderbare und leichtverständliche Formulierung mit der ich weiter arbeiten kann.

So oder so ähnlich kann man die Def einer bijektiven Abbildung beschreiben.
Zu der Abbildung f existiert eine ABbildung g: Y->X mit g o f = id_x und umgekehrt g o g=id_y. Das sagt aus wenn ich mich nicht völlig irre, dass wenn ich durch die KOmpositionen jeweils eine Identität erhalte, dass da gewährleistet sei dass zu jedem Urbild genau ein Bild gibt und zu jedem bild genau ein Urbild gibt. Denn eine Identität kann höchstens nur einen Wert zurückgeben, was auch die vorraussetzung für die Bijektvität ist.
Das alles aber nur so nebenbei.

Was mich wirklich brennend interessieren würde ist wie lange es in Regel ungefähr dauert bis man sich an die Hochschulmathematik einwenig eingewöhnt hat.
Den Unimathematik ist quasi eine 180° Wendung im Bezug auf das was man vorher gelernt hat. (Aber ich will keines Falls sagen man hätte mich davor nicht gewarnt)
So scheitern mein vorstellungsvermögen an so mach einer abstarkten Definition, daher muss man sich das alles antrainieren durch ERfahrung usw.

Gibts da evtl irgendwelche Tipps oder Tricks oder Literarturempfehlungen für einen Neueinsteiger wie mich.

30.10.2010, 18:59

Airblader

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Zitat:

Original von mrburns
Was mich wirklich brennend interessieren würde ist wie lange es in Regel ungefähr dauert bis man sich an die Hochschulmathematik einwenig eingewöhnt hat.

Das lässt sich schwer sagen .. zumal "dran gewöhnen" auch relativ ist. Augenzwinkern

Zitat:

So scheitern mein vorstellungsvermögen an so mach einer abstarkten Definition, daher muss man sich das alles antrainieren durch ERfahrung usw.

Das ist aber auch normal und es kommen auch durchaus Dinge, die sich der Vorstellung mitunter einfach entziehen. An abstraktes Denken musst du dich dann eben gewöhnen. Augenzwinkern

Bei Literatur o.ä. kann ich leider nicht helfen.

air

30.10.2010, 20:47

mrburns

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Dann nochmal eine kurze Frage zum obigem Thema:
Wenn ich das Beweisen muss, so muss ich "->" und "<-" zeigen (wegen Äquivalenzpfeil)

für ->: zeige ich dass wenn surjektiv -> dann f(X)=Y und Gleichheit zeigt man über Teilmenege etc.

Was muss ich aber für <-- zeigen, vor allem wie erkenne ich das, dass ich ausgrechnet dieses oder jenes zeigen muss (dh jetzt nur für die Rückrichtung)
Und vor allem was ist hiebei dann die Vorrausetzung die ich nutzen könnte.

30.10.2010, 22:34

Airblader

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Okay. Ich schreibe dir den Beweis mal sauber auf.

Beweisen wollen wir also:
$\begin{eqnarray*} f: X \to Y \text{ surjektiv} ~\Leftrightarrow~ f(X) = Y \end{eqnarray*}$

Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :

Sei f also surjektiv, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ .
Dass $\begin{eqnarray*} f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ gilt ist klar (warum?). Sei nun $\begin{eqnarray*} y^* \in Y \end{eqnarray*}$ . Wegen der Surjektivität ist dann $\begin{eqnarray*} y^* \in f(X) \end{eqnarray*}$ (warum?) und damit $\begin{eqnarray*} Y \subset f(X) \end{eqnarray*}$ .
Insgesamt haben wir damit $\begin{eqnarray*} f(X) = Y \end{eqnarray*}$ (warum?).

Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} y^* \in Y \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(X) = Y \end{eqnarray*}$ gilt ist auch $\begin{eqnarray*} y^* \in f(X) \end{eqnarray*}$ . Dann muss es aber ein $\begin{eqnarray*} x^* \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x^*) = y^* \end{eqnarray*}$ geben, was gerade der Definition der Surjektivität entspricht. $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Einzelne Dinge habe ich absichtlich nicht weiter ausgeführt, sondern ein "(warum?)" hingeschrieben. Etwas nachdenken sollst du ja auch selbst. smile

Gehe den Beweis wirklich Schritt für Schritt durch und mache dir klar, warum jeder einzelne Schritt gilt. Die Rückrichtung kann man fast schon als trivial bezeichnen, aber für Erstsemester gilt eine simple Regel: Für euch ist gar nichts trivial. Augenzwinkern

air

31.10.2010, 10:20

mrburns

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ALso in der Hinrichtung:
$\begin{eqnarray*} f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ gilt immer, denn F(X) ist gerade das Bild aller x element X und ist demnach aufjedenfall auch eine Teilmenenge aus Y.
Sei $\begin{eqnarray*} y^* \in Y \end{eqnarray*}$ beliebig, dann gilt nach Voraussetzung (Surjektivität), dass dieses $\begin{eqnarray*} y^* \end{eqnarray*}$ mindestens ein Urbild hat, sodass es mit einem $\begin{eqnarray*} x^* \in X \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y^* = f(x^*) \end{eqnarray*}$ existiert. Und wenn $\begin{eqnarray*} y^* \subset f(x^*) \end{eqnarray*}$ so auch erst recht $\begin{eqnarray*} y^* \subset f(X) \end{eqnarray*}$ . Weiterhin gilt wegen der Surjektivität, dass das alles für alle y aus Y gilt. demnach $\begin{eqnarray*} Y \subset f(X) \end{eqnarray*}$
Damit sind beide Fälle gezeigt und es glt f(X)=Y.

Die Rückrichtung: Diesesmal ist die Voraussetzung f(X)=Y
Sei $\begin{eqnarray*} y^* \in Y \end{eqnarray*}$ beliebig. Nach Voraussetzung f(X)=Y gilt: es existiert ein $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ mit ^ $\begin{eqnarray*} f(x^*)= y^* \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Anemerkung: Wenn man in der Rückrichtung gezeigt hat, es existiert ein ein x mit f(x)=y , muss man da nicht noch zeigen dass das für alle y gilt. Oder ist es bereits getan, wenn man sagt y^* sei beliebig. Das Problem ist wenn man sagt y^* sei beliebig. so ist es doch eine Art Vorraussetzung die man hat.
Ist der Rest vollständig und richtig?

31.10.2010, 15:57

Airblader

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Zitat:

Original von mrburns
Und wenn $\begin{eqnarray*} y^* \subset f(x^*) \end{eqnarray*}$ so auch erst recht $\begin{eqnarray*} y^* \subset f(X) \end{eqnarray*}$ .

Beide Aussagen sind formal inkorrekt, denn links steht jeweils eine Zahl, "ist Teilmenge von" kann man aber nur für Mengen machen. Der Gedanke ist allerdings richtig.

Zitat:

Oder ist es bereits getan, wenn man sagt y^* sei beliebig.

Genau, damit ist es getan. Wenn du offen lässt, was y^* für einen Wert hat, so kannst du ja nun jede beliebige (erlaubte) Zahl einsetzen und die Argumentationskette ist korrekt. Dann ist es also für alle y^* aus Y bewiesen.

air

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