Euklidsche Beweis zu R

31.10.2010, 11:37

diddy449

Euklidsche Beweis zu R

a2
——— = 2 (1)
b2

Im folgenden werden wir durch einige Umformungen sehen, daß der Bruch, den wir als nicht mehr kürzbar definiert haben

Inwiefern ist dieser Bruch oben schon als unkürzbar definiert und selnbst wenn er es ist, wieso kann man den dann nicht einfach kürzen, sodass er es dann nicht mehr kürzbar ist?

31.10.2010, 12:51

Iorek

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Kannst du bitte mal verständlich aufschreiben was du meinst?

Zitat:

Original von diddy449
Im folgenden werden wir durch einige Umformungen sehen, daß der Bruch, den wir als nicht mehr kürzbar definiert haben

Da fehlt ein Teil des Satzes, was werden wir sehen?

Zitat:

Original von diddy449
Inwiefern ist dieser Bruch oben schon als unkürzbar definiert und selnbst wenn er es ist, wieso kann man den dann nicht einfach kürzen, sodass er es dann nicht mehr kürzbar ist?

Da keine Bedingungen an $\begin{eqnarray*} a_2,~b_2 \end{eqnarray*}$ gestellt sind, ist der erstmal nicht klarerweise "unkürzbar" (wähle $\begin{eqnarray*} a_2=4,~b_2=2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_2}{b_2}=2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \frac 42 \end{eqnarray*}$ kann man offensichtlich kürzen). Die Originalaufgabenstellung wäre also hilfreich inklusive aller Informationen die dir gegeben sind, ansonsten gibt das nichts.

31.10.2010, 13:43

diddy449

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Verzeihung,

ich nehme einfach einen Beweis aus dem Netz als Grundlage

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/wurzel2irrational.htm

ich habe meinen ersten Eintrag aus diesem Beweis kopiert und dann meine Frage dazu versucht zu stellen.

Ich verstehe beim euklidschen Beweis nicht (nicht speziell in dieser Darstellung des euklidschen Beweises):

1) Inwiefern p und q nicht mehr als teilbar definiert sind? Ich sehe das immer nur in geschriebenen Wörter, aber nicht in der mathematischen Darstellung durch Bedingungen (2=(p/q)^2)

Reicht es das in Worten zu definieren oder verstehe ich da etwas in der Notation nicht?

2) Wieso wäre das ein Problem für 2=(p/q)^2, wenn p und q einen gleichen Teiler haben?

Dann kürzt man das halt und die Def. stimmt dann nicht. Aber wäre das dann so, dass 2=(p/q)^2 nicht mehr gilt?

Danke für die Verständnishilfe im voraus

31.10.2010, 13:55

Iorek

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Ok, damit wird das um einiges klarer.

Man will ja gerade zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ irrational ist. Dazu nimmt man an, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ rational ist und führt das zum Widerspruch. Eine rationale Zahl lässt sich darstellen als Bruch $\begin{eqnarray*} \frac ab \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt a \end{eqnarray*}$ also eine rationale Zahl wäre, dann würden $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Z\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} \frac ab=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt wird vorausgesetzt, dass dieser Bruch bereits vollständig gekürzt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sind teilerfremd. Das ist für jeden Bruch möglich, du kannst jeden Bruch so weit kürzen, bis Nenner und Zähler teilerfremd sind. Für den Beweis wird die gekürzte Darstellung jetzt einfach vorausgesetzt.

Ist das dein Problem oder noch was anderes?

31.10.2010, 18:45

diddy449

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ja genau, also muss ich das hinnehmen, dass a und b laut Definition teilerfremd sind.

Aber wieso beweist, dass diese Annahme falsch ist, dass Wurzel 2 irrational ist? Dann gibt es halt statt a/b = Wurzel 2 c/d= Wurzel 2 wobei c*k=a und d*k=b .

Oder habe ich ein Problem mit Grundverständnis der Wiederspruchsbeweisführung?

31.10.2010, 20:48

Iorek

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Nein, a und b sind nicht nach Definition teilerfremd.

Wir wollen zeigen, dass die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist, dazu nehmen wir an, sie wäre rational. Wie kann man eine rationale Zahl schreiben? Als Bruch. Und was kann man mit einem Bruch machen? Kürzen so weit es geht. Das heißt, wenn Wurzel 2 eine rationale Zahl wäre, kann man sie als Bruch $\begin{eqnarray*} \frac ab \end{eqnarray*}$ schreiben, wobei dieser Bruch komplett gekürzt ist, a und sind also teilerfremd. Natürlich könnte man auch einen Bruch nehmen, der nicht vollständig gekürzt ist, dann würde der Beweis aber nicht funktionieren.

Und unter der Annahme, dass die Zahlen a und b teilerfremd sind, zeigt man jetzt, dass sie doch einen gemeinsamen Teiler besitzen, sie sind nämlich beide durch 2 teilbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, darum ist die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl.

31.10.2010, 21:43

diddy449

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ok, danke

Dann hab ich es jetzt verstanden.
Wir können nie ein a/b definieren, sodass es sich nicht mehr kürzen lässt.
Und daher, dass wir a/b nie definieren können(Annahme falsch), muss die ganze Aussage a/b=Wurzel 2 falsch sein. Denn die Annahme kam aus der Aussage und wenn die Annahme falsch ist, dann muss die Aussage schon falsch sein.

Richtig?

31.10.2010, 21:48

Iorek

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Ja, wir haben mit dem erzeugten Widerspruch gezeigt, dass unsere Annahme falsch sein muss, also ist Wurzel 2 nicht rational, also existieren keine ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac ab=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , also folgt die Irrationalität.

31.10.2010, 21:52

diddy449

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Vielen Dank für die Geduld Freude

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