Mengenbestimmung, Injektivität

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magisches Quadrat Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenbestimmung, Injektivität
Meine Frage:
Hallo alle zusammen, ich würde mich freuen, wenn ihr mir bei folgenden Aufgaben helfen würdet. Ich habe natürlich zu allen Teilaufgaben auch meine Lösungsideen hinzugefügt:

1. Es sollen folgende Mengen bestimmt werden:

a.) , mit
b.)
(Bei mir soll gelten: 0 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen)
c.)
d.)

2. Untersuche auf Injektivität. Ist diese vorhanden, dann bestimme die Umkehrfunktion und bestimme ihren Definitionsbereich

a.) mit
b.) mit
c.)mit
d.)mit


Meine Ideen:
1.
a.) . Die Menge nenne ich . oder
b.) (Venn-Diagramm als Lösungsidee)
c.) ("")
d.) ... Ich habe das Zeichen für die leere Menge im Editor nicht entdeckt...wisst ihr wo das ist? Die Begründung: k ist Element von den natürlichen Zahlen, n aber auch. Es gibt somit aber auch keine Elemente in dem Schnitt.

2.
a.) an Hand des Graphens und an Hand der Tatsache, dass die Funktion ungerade ist, erkenne ich, dass die Funktion injektiv ist. Kann ich dies als Begründung anführen, oder würdet ihr mir einen anderen Weg empfehlen? Graph: http://www.matheboard.de/plotter.php?f=1+x^3&x=&y=&t=
Definitionsbereich von der Umkehrfunktion ():
Ich bin mir nicht sicher, aber laut Graph müsste meiner Meinung nach die zweite Variante gelten:
oder
b.)g ist nicht injektiv, da es sich um eine Parabel als Graph der Funktion handelt. Als Beweis führe ich ein Gegenbeispiel an, so gilt:

c.)Scheitelpunktform: . Damit ist die Funktion injektiv, denn der Definitionsbereich startet erst an der Stelle -2 und geht dann ins positive Unendliche. Der Scheitel der Parabel liegt aber bei der Stelle -3. Die Funktion ist injektiv.
Auch hier möchte ich gerne fragen, wie ich so etwas professionell"er" darstellen kann.
Die Umkehrfunktion ist: . Folglich ist der Definitionsbereich:
d.)Hmh, also hier bin ich überfragt. Ich habe aufgeschnappt, dass hier keine Injektivität vorliegen soll, aber wenn ich den Grap in dem gegeben Intervall plotte, dann sehe ich eigentlich keine Funktionswerte, die von mehr als einer Stelle angenommen werden. Könnt ihr mir hier bitte ein Tipp geben, wie ich (rechnerisch) weiter verfahren kann?

Danke schon einmal im Voraus. Ich schaue immer wieder vorbei und werde dann hier die Aufgaben weiter ausarbeiten!
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

PS: Ich bin eigentlich auch nicht unregistriert, sondern die obige Frage kommt von mir.


zu 1 c.) 2 ist die einzige Primzahl, die gerade ist...das habe ich als Begründung vergessen gehabt^^
 
 
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2a.) Also wenn nun doch die erste Variante gelten könnte (worüber ich gerade nachdenke), dann könnte man ja im Prinzip alle reellen Zahlen nehmen (?)
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, also im Prinzip kann ich ja aus einer negativen Zahl die dritte Wurzel ziehen, dann müsste ich doch die Annahme aus meinem zweiten Beitrag zurücknehmen. Hmh?
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich bei 2 d.) zur Umkehrfunktion gelangen möchte, ist es dann sinnvoll bei dem gegebenen Term erst Nenner und Zähler zu vertauschen? So könnte ich ja dann nach x auflösen, oder?
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

PS: Ich wäre auch schon dankbar, wenn ihr mir bei Teilaufgaben helft...also muss ja nicht gleich alles sein Augenzwinkern Danke smile
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Also unter der Aufgabe 1 habe ich jetzt soweit alles noch einmal durchgerechnet und bin zu dem Entschluss gekommen, dass bis auf die Teilaufgabe a eigentlich alles stimmen müsste.

Bitte helft mir bei Aufgabe 2.............
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich was falsches gemacht? Ich geb mir doch schon alle Mühr mich aktiv einzubringen. Und ich habe sogar noch Latex benutzt traurig
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgaben sind in der letzten Woche einige Male hier gewes und es sind sehr viele auf einmal.

Guck dich mal ein bischen um, du solltest wenn ich mich richtig erinnere 2 oder 3 Threads zu deinen Aufgaben finden. Ich hab im Moment nicht allzuviel Zeit, aber vllt. bringt dich das ja schonmal weiter.

Noch dazu: Venndiagramm und "anhand eines Graphen" sind kein zufriedenstellender Beweis.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Okay okay, dann streiche ich hiermit die ganze erste Aufgabe. Bei der war ich mir eh ziemlich sicher, dass meine Lösungen stimmen. Da habe ich auch Teilaufgaben im Forum entdeckt...

...aber bitte, es wäre super net, wenn jemand einen kleinen Blick auf die zweite Aufgabe werfen könnte. Danke!!!!!!!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du die streichst, deine Lösungen zur ersten Aufgabe stimmen nicht.

1a) Was soll deine ominöse Menge sein? Was soll dein komisches darstellen?

1b) Wenn bei euch die 0 keine natürliche Zahl ist, wieso ist sie dann in der Vereinigung enthalten? Wo kommt das Intervall her, das bei dir in der Lösung vorhanden ist?

1c) Stimmt.

1d) Schreib dir mal beispielhaft für n=1,2,3,4 die Mengen auf und bestimme den Schnitt, ist der wirklich leer?

2a) Ein "ich habs am Graph gesehen" ist natürlich kein Beweis, wie lautet die Definition für Injektivität? Die musst du verwenden.

2b) Stimmt.

2c) Auch hier musst du wieder über die Definition der Injektivität gehen.

2d) Die Funktion ist in der Tat nicht injektiv, und du solltest aufhören, dich auf irgendwelche Funktionsplotter zu verlassen. Wenn du keinen konkreten Verdacht für einen Funktionswert hast, der von zwei verschiedenen x-Werten angenommen wird, kannst du ja allgemein für die Gleichung lösen.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke erstmal, dass du dir doch ein wenig Zeit genommen hast!!
Also zu den Aufgaben:
1. a.) Na bedeutet hier einfach meine Wertemenge. Es ist ja von der Umkehrfunktion die Wertemenge gesucht. NIchts anderes bedeutet doch mein . Also habe ich die Umkehrfunktion gebildet und habe die Wertemenge bestimmt, indem ich zunaechst 2 eingesetzt habe und das Ganze dann habe gegen unendlich laufen lassen. Somit bin ich auf die Wertemenge M gekommen.
b.) hier muss ich mich doppelt korrigieren: Zunaechst soll die null ein Element der natuerlichen Zahlen sein. Ich habe da nochmal nachgehakt und es wurde eingelenkt, dass o nun doch Element sein muss. Aber auch meine Loesung muss ich aendern.
Es kommt nun doch etwas anderes raus...ja, ich war etwas zu uebereifrig.
Richtig muss es natuerlich so heissen;
Mein Fehler war, dass ja natuerliche Zahlen ywiscehn 2 und 3 ausgeschlossen werden muessen...das hatte ich falsch gemacht.
c.)Da belasse ich es bei der Begruendung, dass 2 die einzige gerade Primzahl ist...ist das mathematisch auch abgesichert, oder muss ich alle Primzahlen in Mengenklammern schreiben und dann mit allen geraden Zahlen in Mengenklammern schneiden? D. h., dass ich aber irgendwann mit … arbeiten muesste.
d.) Hmh, also hier komme ich auf die leere Menge, weil ja n und k Elemente von den natuerlichen Zahlen sind. Aber alle natuerlichen Zahlen koennen doch nicht groesser sein als alle anderen natuerlichen Zahlen. Um ehrlich zu sein frage ich mich aber, was genau dieses
vor der Mengenklammer bedeuten soll. Ich schneide doch die Mengen n=1, n=2 usw. Und die ks sollen dabei immer kleiner bzw. gleich den ns sein. Fuer mich ist die Menge somit leer.
Oder und der Gedanke kam mir jetzt gerade: zum Beispiel: fuer n=3 ist k ja auch gleich 3. Somit gilt ja groesser/gleich 3. n ist doch nichts anderes als mein Index...oder?

So ich teile die ganze Sache jetzt mal auf...die zweite Aufgabe mache ich in einer neuen Antwort...dann wird es nicht soviel und wie gesagt, wenn ihr mir bei Teilaufgaben helfen koennt (Zeitprobleme o. a.), dann reicht mir das erstmal auch...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bezeichnet eben nicht nicht die Umkehrfunktion, damit ist das Urbild gemeint.

Bei der b) solltest du statt der Schnittmenge lieber die ... bilden.

Die c) kannst du ruhig so stehen lassen, die stimmt ja (auch mit der Begründung).

Nochmal zu d): Schreib dir doch einfach mal für n=1,...,5 die Mengen hin, welches Element liegt im Schnitt dieser Mengen? Der nächste Schritt wäre, das zu verallgemeinern.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 2
a.) Na die Definition lautet ja so:
fuer alle mit

Nur wie soll ich das zum Beispiel bei beweisen?
Also ich kann ja f(x1) und f(x2) gleich setzen:

Dann ziehe ich die dritte Wurzel und es steht dort . Obwohl moment das schaue ich mir nochmal genauer an...ich glaube, dass ich hier mit quadratischer Ergänzung weiter komme, wenn ich beide Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichen bringe...ich schaue mir das nochmal durch.

Bei c.) muss ich ja ähnlich verfahren...ich schaue da nochmal drueber.

Zu d.) Muss ich hier nach a auflösen und zeigen, dass ich nach dem ich ja die beiden Summanden auf den gleichen Nenner gebracht habe, die dann entstehende quadratische Funktion im Nenner zu zwei Lösungen führt?

Aber mein Plotter zeigt mir trotzdem eine Injektivität, denn die Funktion ist ja erst ab exklusive x=1 definiert. Und da sieht der Graph ja ungefähr so aus:
kompletter Verlauf im 4. Quadrant. Strebt bei x=0 gegen – unendlich und strebt für x gegen unendlich gegen 0.
Es gibt also doch keine zwei Werte, die einen Funktionswert annehmen.

Ich werfe da nochmal einen Blick drüber, zumal ich ja eh nur die graphische Lösung bisher zu bieten habe...aber mal schauen, ich werde mich jetzt mal an den Ansatz bei a.) setzen...wenn die Idee so stimmen könnte?
Vielen Dank im Voraus!!!! Und danke, dass du dir schonmal Zeit genommen hast.

Auf deine andere Antwort gehe ich gleich noch ein!!!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Aufgabe 2
a.) Na die Definition lautet ja so:
fuer alle mit


Verwende die äquivalente Aussage , d.h. setze an mit und zeige, dass dann bereits ist. Mit der Eindeutigkeit der Wurzel ist deine Begründung dann richtig. Augenzwinkern

Bei der 2d) muss ich mich entschuldigen, ich habe das als Funktion von aufgefasst.

Dann solltest du auch hier wie bei der 2a) vorgehen.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

1 a.) Oha, na dann muss ich erstmal büffeln, was da eigentlich mit dem Urbild gemeint ist. Das ist mir wirklich was Neues. Ich weiß gar nicht, wie ich dann überhaupt auf eine Umkehrfkt. gekommen bin...peinlich^^

b.) Aber falsch dürfte meine Darstellung doch nicht sein, oder?

der vorletzte Schritt sieht bei mir so aus:



Darf ich das dann nicht so weiter vereinfachen, wie ich es getan habe? Zeig mir doch bitte einmal, wie du es schreiben würdest mit dem ..., denn inhaltlich müsste mein Schritt von oben ja eigentlich stimmen.

c.) Danke Augenzwinkern

d.) Okay die Hilfe hast du mir ja schon gegeben, dass immer "ein" Element in den n=1, 2,...5 Mengen vorhanden ist. Die Frage, die sich mir aber stellt ist, wie ich überhaupt auf die Eelemente komme, denn als Voraussetzung habe ich ja nur, dass mein k kleiner/gleich n sein soll. Beide sind aber Elemente der natürlichen Zahlen. Schreibe mir zum Beispiel doch nur mal für n=3 oder irgendein x-beliebigen Wert für n eine Menge aus. In diesem Falle wäre bei mir für n=3 nur 0,1,2,3 kleiner/gleich als n. Wenn ich jetzt aber alle n mit ks vereinige, dann komme ich ja auf alle natürlichen Zahlen...hmh, ich glaube, dass ich hier in einem Denkfehler verstrickt bin, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

a) Sei eine Abbildung. Für ist das Urbild von unter .

b) Du hast aber statt der Vereinigungs- die Schnittmenge gebildet, und .

d) Du sollst dir auch nicht nur für n=3 die Mengen aufschreiben sondern für n=1 und für n=2 und für n=3 und für n=4. Dann bildest du (mit ).
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2.

a.) Na also damit gehts ja jetzt relativ leicht:


<->
<->

Somit gilt, dass f(x1)=f(x2)nur gilt, wenn x1=x2, also

wie du geschrieben hast:



Oder müsste hier nicht auch ein Doppelpfeil stehen?

Die Umkehrfunktion und ihr Definitionsbereich stimmte doch, oder?

edit: Oha stimmt, ich hatte tatsächlich die Schnittmenge genommen...na aber mit der Vereinigungsmenge dürfte es aber richtig sein (?)

edit2: bei 1 d.) muss ich allerdings schon bei n=0 anfangen. Die gehört ja nun doch zu meinen natürlichen Zahlen. Was mir die Sache aber auch nicht erläutert, denn ich weiß nicht, wie ich mit der Voraussetzung umgehen soll. Du sagst, dass ich auf ein Element stoßen soll, dass bei allen auftauchen soll...verallgemeinert ist es doch dann immer das Element, welches n doch selber ist.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du die Mengen vereinigst, dann stimmts.

Die Umkehrfunktion zu 2a) stimmt, aber wieso willst du den Definitionsbereich einschränken?

Der Nachweis der Injektivität stimmt jetzt auch.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

2 a.)

Ehm, den wollte ich einschränken, weil ja warum eigentlich...gute Frage.

Ich ziehe ja die dritte Wurzel aus dem Term. Ja stimmt, der Definitionsbereich ist damit ja:



Ich wage mich dann jetzt mal an 2 d.) ran....

zu Aufgabe 1 habe ich in meinem letzten Beitrag noch etwas editiert.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann nimm n=0 noch mit rein. Hast du die Mengen denn mal aufgeschrieben? Die Aussage, dass es n sein soll spricht da nämlich gegen...
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

2 d.)

So dann will ich mich mal an f(x1)=f(x2) setzen:



Dann multipliziere ich beide Seiten mit jeweils beiden Termen in den Nennern. Nach quadr. Ergänzung komme ich dann irgendwann auf:



Und damit gibt es eben zwei Werte, die einen Funktionswert annehmen können..., wenn ja wenn man den Def-Bereich nicht einschränken würde ab x=1.
Aber daran erkenne ich das doch nun nicht. Oder muss ich eine neue Funktion definieren, die erst ab x=1 gilt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst nur noch die richtige Verbindung zwischen "eingeschränkter Definitionsbereich" und "positiv/negative" Werte sehen. nach Definition, damit ist . Aber: es werden nur positive Werte angenommen (Nachweis!).
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich traue es mich jetzt mal die Mengen, die ich meine öffentlich zu machen...aber wie gesagt, da bin ich total unsicher...meine k-Werte sollen kleiner/gleich den jeweiligen Indizes sein. Oha, ich traue es mich fast nicht zu schreiben, aber hier meine Vorschläge Augenzwinkern






Und so weiter...Welche ks sollen denn größer als k sein, wenn es nur bis n Elemente geht? Na, du siehst schon, dass meine Vorschläge nicht stimmen können, aber bei mir klappts mit der Voraussetzung einfach nicht...was ist mein k


Ich springe mal wieder zu 2 d.) Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Mengen stimmen aber. Augenzwinkern

Allgemein: . Jetzt gibt es nur ein Element, dass in allen Mengen enthalten ist.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nachweis ist ja dann auch nicht mehr schwierig, denn ich muss ja nur noch deine Ungleichung umformen:




Das ändert aber doch nichts an nichts daran, dass ich beim Wurzelziehen immer noch +/- stehen habe.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Aber: es werden nur positive Werte angenommen (Nachweis!).


Außerdem sollst du nicht einfach meine Ungleichungen umformen, diese sind lediglich nötig um die Injektivität zu zeigen.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es gibt tatsächlich nur ein Element...die 0. Also das hätte ich jetzt nicht gedacht. Aber ich wenn es jetzt nicht n größer/gleich k, sondern n größer k heißen würde, dann wäre es doch die leere Menge, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die 0 liegt im Schnitt (allerdings ist das für diese 4 Mengen natürlich kein mathematischer Beweis, der muss noch erfolgen).
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh ich schneide also M(n) mit M(n+1), wobei n=k?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, was willst du damit sagen? verwirrt

Zeige zuerst, dass die 0 in allen Mengen enthalten ist. Danach solltest du dir überlegen, wieso gilt, damit hättest du den Schnitt bestimmt.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich beweisen will, dass nur positive Funktionswerte im Intervall vorkommen, dann werde ich das ja nicht zeigen können, denn es werden ja nur negatove F-Werte angenommen...habe ich ja geschrieben, dass die Fkt. für x gegen unendlich gegen 0 geht und für x gegen 0 gegen - unendlich geht.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte ja deine allgemeine Menge verwenden, aber die stimmt doch auch nicht ganz, denn wenn ich für n=0 setze, dann erhalte ich ja nach deiner Formel 0-1=-1 und das ist kein Element der natürlichen Zahlen...also kann ich die doch gar nicht aufschreiben
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo erhältst du denn eine -1? verwirrt

Und die Betrachtung der Grenzwerte bringt dir ohne weitere Eigenschaften der Funktion (Stetigkeit, Monotonie) sowie z.B. den Zwischenwertsatz nicht viel. Ich kann dir leicht Funktionen definieren, die deine Grenzwertbedingungen erfüllen und trotzdem positive Werte annehmen.

Betrachte bzw. , damit wirst du arbeiten müssen wenn dir die oben genannten Sachen nicht zur Verfügung stehen.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Die -1 erhalte ich bei dir, wenn ich in die allgemeine Formel n=0 setze. Da steht bei dir ja n-1.

Ja das ist das blöde dabei mit dem Zeigen einer fehlenden Extremstelle hätte ich ja schon einen schönen Beweis, aber das darf ich noch nicht.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die von mir angegebene Menge enthält die natürlichen Zahlen von 0 bis n, d.h. für n=0 ist das nur die 0 (kleiner Nachteil der aufzählenden Darstellung).

Du kannst das auch ohne Extremstellen oder sonst was nachweisen nur mit dem Ansatz den ich dir vorgegeben habe.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Wow okay, aber damit kann ich dann doch nicht arbeiten, oder? Denn irgendwie muss ich das ja in der Tat auch mathematisch beweisen. Ich würde einfach die Menge M(n) schneiden mit M(n+1), wobei ich mit n=0 anfange. Naja und dann schneide ich beide und es kommt nur 0 als gemeinsames Element raus.
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich denke mal, dass du dich jetzt auch nach irgendeinem Post ausloggen wirst (wann auch immer das genau sein wird)...was ich dir nicht verdenken kann Augenzwinkern Vielleicht schaust du ja morgen Vormittag nochmal vorbei. Ich werde auf jeden Fall noch meine weiteren Ansätze posten.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst da natürlich mit arbeiten, ist aber etwas unhandlich.

Überleg dir einfach, wieso gilt, damit und mit ist der Beweis schon fertig. Augenzwinkern
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Na 0 ist Element von M(n), weil n Element von den natürlichen Zahlen ist und 0 eben auch eine natürliche Zahl ist.

n+1 kann ja nicht gelten, weil es ja nur bis n in den Indizes geht. Dein Term soll also die mathematische Begründung sein? Hmh, ich hättte einfach geschrieben, dass ja...hmh stimmt schon mir fehlt da das Wissen um die Mengenschreibweise...sonst könnte ich ja einfach schreiben M0 geschnitten mit M1, geschnitten mit M2 usw.
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