Workshop von tigerbine: Verständnisfrage zur Matrixnorm

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rauschgold Auf diesen Beitrag antworten »
Workshop von tigerbine: Verständnisfrage zur Matrixnorm
Hallihallo,
habe mir gerade den Numerik - Übung 1 - Workshop von tigerbine durchgelesen und bin sehr erfreut, dass da alles so übersichtlich und auch verständlich erklärt wird.

Nur bei einer essentiellen Sache fällt mir keine Erklärung ein, warum man das so machen darf.

Es sollen die Matrixnormen-Gleichungen für p = 1,2, unendlich bewiesen mittels den Ungleichungen bewiesen werden und da steht folgendes

(zu zeigen ist:

)

----

Sei . Dann gilt:

1. Sei beliebig. Dann ist:





----

Wie kommt man auf die allerletzte Folgerung? Man hat bewiesen, dass gilt:



aber warum folgt dann, dass die Matrixnorm A kleiner gleich diesem S ist? Man hat ja nur die Aussage für die Vektornorm Ax.

Desweiteren ist hier immer vom normierten Vektor x der Länge 1 die Rede, dabei muss doch die Aussage für alle x gelten. Warum ist das so?

Über Antworten würde ich mich freuen, meine Frage dürfte ja recht einfach zu beantworten sein :-)

Danke
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Workshop von Tigerbine: Verständnisfrage zur Matrixnorm
Zitat:
Original von rauschgold

Wie kommt man auf die allerletzte Folgerung? Man hat bewiesen, dass gilt:




Ja, das hat man bewiesen und nun schau dir nochmals an was denn eigentlich war Augenzwinkern .
rauschgold Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mein Fehler :-)
Ich meinte, man hat bewiesen, dass gilt:



Mit dem x dabei ... und dann schließt man auf .

Das geht mir nicht ein :-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Workshop von Tigerbine: Verständnisfrage zur Matrixnorm
Teil (a) der Aufgabe. Man weiß von ||A|| ja, dass es eine induzierte Matrixnorm ist.
rauschgold Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten.

Ich komme aber nicht drauf ... ||A|| ist also die induzierte Norm.

Damit ich aus folgendes folgern kann:

.

Müsste ja gelten:

, dann kann ich die induzierte Norm einfach ganz links an die Ungleichung dranhängen.

Wie ist das ersichtlich?

Per Definition ist doch



Und dann gilt doch, mit normiertem x, wenn die Matrixnorm das Supremum ist (das ist ja dann die Aussage der Verträglichkeit) dass die Matrixnorm A doch größer gleich der Vektornorm Ax ist.

Ich checke es gerade nicht :-/
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
rauschgold Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, tigerbine!
Die Äquivalenzen hatte ich verstanden (denk ich jedenfalls).
Sieht man da so leicht, dass aus ||Ax|| kleiner gleich S folgt: ||A|| kleiner gleich S?!

Ich könnte es mir nur so erklären:

Sei x normiert.
Wenn nun die Vektornorm von Ax kleiner gleich diesem S ist, dann gilt das ibs. auch für die induzierte Matrixnorm A, da diese ja das Supremum von Ax darstellt.

Oder liege ich wieder falsch?

Wäre nett, wenn jemand ein paar Worte dazuschreiben könnte, dass ich sehe, wo mein Fehler liegt ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Was bedeutet das denn?

Und wenn für alle



Was weiß man dann über das Supremum?
rauschgold Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet, dass die Matrixnorm von A als kleinste obere Schranke der Abbildung eines normierten Vektors x gilt. Wenn ich also einen Vektor der Norm 1 habe und den dann mit der Matrix A abbilde, so ist die Norm der Abbildung kleiner gleich meinem Supremum, der Matrixnorm.

Und wenn für alle x mit Norm gleich 1 die Aussage ||Ax|| <= S zutrifft, dann ist S entweder selber das Supremum oder aber größer als das Supremum und somit gilt

||A|| <= S.

Habe ich das richtig verstanden?

Wegen der Homogenität der Vektornorm darf ich immer von einem normierten Vektor x ausgehen, oder?

Danke für deine Antwort, tigerbine.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rauschgold
Wegen der Homogenität der Vektornorm darf ich immer von einem normierten Vektor x ausgehen, oder?


Steht ganz am Anfang in der Aufgabe, dass die 3 Varianten äquivalent sind.
rauschgold Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, stimmt.

Sind dann meine Überlegungen (siehe vorheriger Post) richtig?
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