umrechnung komplexe zahlen

31.10.2010, 20:50

analysisisthedevil

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umrechnung komplexe zahlen

hi , wäre nett wenn jemand schnell die ergebnisse durchschauen kann und mir sagen kann ob ich etwas falsch gemacht habe,

ich soll bei allen vier aufgaben jeweils ,die trigonometrische und die exponentialform bestimmen.

a)
$\begin{eqnarray*} z=3+4i=5e^{i(arctan(\frac{4}{3})) }=5(cos(arctan\frac{4}{3} )+isin(arctan\frac{4}{3} )) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} z=3-\sqrt{3} i=\sqrt{12}e^{i(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi ) } )= \sqrt{12} \left(cos(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi )+isin(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi )\right) \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} z=-1-3i=\sqrt{10} e^{i\cdot (arctan(3)+\pi )}=\sqrt{10} (cos(arctan(3)+\pi )+isin(arctan(3)+\pi )) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \left(\frac{4i}{1-i} \right) ^2=-8i=8e^{\pi i}=8(cos\pi +isin\pi ) \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 22:48

mYthos

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a), c) ok, wengleich man das noch weiter berechnen kann.

b) Weshalb addierst du $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ? Dadurch ändert sich ja der Winkel nicht. Da wäre nur $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ richtig.

Bei d) verstehe ich schon das Vorzeichen bei -8i nicht.
Des weiteren ist der Winkel von i bzw. -i in keinem Falle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

mY+

01.11.2010, 00:56

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von mYthos
a), c) ok, wengleich man das noch weiter berechnen kann.

b) Weshalb addierst du $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ? Dadurch ändert sich ja der Winkel nicht. Da wäre nur $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ richtig.

Bei d) verstehe ich schon das Vorzeichen bei -8i nicht.
Des weiteren ist der Winkel von i bzw. -i in keinem Falle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

mY+

mmh , also zur b) wir haben definiert, dass es sich um den 4. quadranten handelt wenn gilt: $\begin{eqnarray*} Re(z)>0 \enspace und \enspace Im(z)<0 \end{eqnarray*}$

und dass deshalb gilt $\begin{eqnarray*} \phi=arctan\frac{b}{a} +2\pi \end{eqnarray*}$

das wäre ja in diesem fall alles erfüllt , es sei denn was unser dozent definiert hat ist falsch oder?

01.11.2010, 01:47

mYthos

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Dass es sich in b) um den 4. Quadranten handelt, ist richtig, aber deswegen muss die Addition von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt stimmen, es sei denn, man nimmt den Winkel, den der arctan liefert, als negativ. In diesem Fall stimmt die Adition von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Der arctan könnte jedoch auch im 2. Quadranten liegen, dann wird man $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu addieren haben.

mY+

01.11.2010, 01:52

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von mYthos
Dass es sich in b) um den 4. Quadranten handelt, ist richtig, aber deswegen muss die Addition von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt stimmen, es sei denn, man nimmt den Winkel, den der arctan liefert, als negativ. In diesem Fall stimmt die Adition von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Der arctan könnte jedoch auch im 2. Quadranten liegen, dann wird man $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu addieren haben.

mY+

mmh seltsam , also wir haben das definitiv so gesagt bekommen dass es immer so ist.
Also immer wenn die komplexe zahl im 4. quadranten liegt dann wird diese formel angewandt.
Jetz bin ich ein wenig verunsicher

01.11.2010, 02:14

mYthos

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Ich habe ja gesagt, dass es dann passt, wenn du für den arctan einen negativen Winkel nimmst. Es ist richtig, dass der Zeiger in den 4. Quadranten weist und du musst also nur sicherstellen, dass der Winkel auch wirklich dort liegt.

Du kannst ja mal noch weiter bis zum Zahlenwert rechnen.

mY+

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01.11.2010, 02:22

analysisisthedevil

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aber ich weis doch dass der winkel im 4. quadranten liegt wegen $\begin{eqnarray*} Re(z)>0 \enspace und \enspace Im(z)<0 \end{eqnarray*}$

oder etwa nicht?das müsste doch auch bedeuten , dass mein ergebnis stimmt eigentlich

01.11.2010, 12:40

analysisisthedevil

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RE: umrechnung komplexe zahlen
Ist villeicht jemand Online , der mir diese Frage beantworten kann?das irritiert mich gerade echt

01.11.2010, 23:29

analysisisthedevil

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mmh , also mit der aufgabe b) weis ich jetz nicht weiter.

wir haben also definiert dass wenn gilt : $\begin{eqnarray*} Re(z)>0 \enspace und \enspace Im(z)<0 \end{eqnarray*}$

die komplexe zahl im 4. quadranten liegt und somit $\begin{eqnarray*} \phi=arctan\frac{b}{a} +2\pi \end{eqnarray*}$

gilt,deshalb komm ich nich drauf wieso

$\begin{eqnarray*} z=3-\sqrt{3} i=\sqrt{12}e^{i(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi ) } )= \sqrt{12} \left(cos(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi )+isin(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi )\right) \end{eqnarray*}$

falsch ist.

zur aufgabe d)

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{4i}{1-i} \right) ^2=(\frac{-4+4i}{2} )^2=(-2+2i)^2=(-2+2i)(-2+2i)=-8i \end{eqnarray*}$

auch hier kann ich meinen Fehler nicht finden

02.11.2010, 00:03

mYthos

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b)

Frage: Welchen Winkel bekommst du mit $\begin{eqnarray*} \arctan (-\frac{\sqrt 3} 3) \end{eqnarray*}$ heraus bzw. in welchem Quadranten liegt er? Davon hängt es ab, was du dann noch zu addieren hast!

d)

OK, - 8i ist richtig, sorry,da muss ich mich wo vertan haben. Aber der Winkel $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ stimmt deswegen noch immer nicht!
_____________

Und: Keine 3-fach Posts bitte, nütze die EDIT-Funktion!

mY+

02.11.2010, 00:20

corvus

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Zitat:

Original von analysisisthedevil

zur aufgabe d)

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{4i}{1-i} \right) ^2=(\frac{-4+4i}{2} )^2=(-2+2i)^2=(-2+2i)(-2+2i)=-8i \end{eqnarray*}$

auch hier kann ich meinen Fehler nicht finden

das ist doch soweit richtig
und nun: zum Punkt (0 ; - 8) gehört der Betrag +8 und
das Argument (der Winkel) 270° bzw. 3pi/2
also: wie sieht die trigonometrische und die exponentialform - Darstellung aus?

Zitat:

Original von analysisisthedevil
mmh , also mit der aufgabe b) weis ich jetz nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} z=3-\sqrt{3} i=<br /> \sqrt{12} \left(cos(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi )+isin(arctan(\frac{-\sqrt{3} }{3})+2\pi )\right) \end{eqnarray*}$

falsch ist.

also, wenn ich dir zu so Aufgaben auch noch einen Tipp geben darf:
- berechne zuerst den Betrag der Zahl und klammere den einfach nur aus .. so:

$\begin{eqnarray*} z=3-\sqrt{3} i = 2\cdot \sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}\cdot i \right) \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du den richtigen Winkel narrensicher aus den zwei Bedingungen ablesen:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha )= \frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$ ......und...... $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha ) = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{11\pi }{6} \end{eqnarray*}$ .. oder 330°

usw..
usw.

02.11.2010, 00:38

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von mYthos
b)

Frage: Welchen Winkel bekommst du mit $\begin{eqnarray*} \arctan (-\frac{\sqrt 3} 3) \end{eqnarray*}$ heraus bzw. in welchem Quadranten liegt er? Davon hängt es ab, was du dann noch zu addieren hast!

mY+

Der Winkel liegt im 4. Quadranten weil

$\begin{eqnarray*} Re(z)=3>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(z)=-\sqrt{3}<0 \end{eqnarray*}$

mit dem Taschenrechner , was ich übrigens bei der Klausur nich anwenden darf, ergibt:

$\begin{eqnarray*} \arctan (-\frac{\sqrt 3} 3)=-29.99 \end{eqnarray*}$

also ist der winkel im 4. quadranten und die formel muss lauten:

$\begin{eqnarray*} \phi=arctan\frac{b}{a} +2\pi \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von corvus

zur aufgabe d)

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{4i}{1-i} \right) ^2=(\frac{-4+4i}{2} )^2=(-2+2i)^2=(-2+2i)(-2+2i)=-8i \end{eqnarray*}$

und hier

$\begin{eqnarray*} r=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi=1,5\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=8e^{1,5i\pi} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} z= 8(cos(1,5\pi)+isin(1,5\pi)) \end{eqnarray*}$

02.11.2010, 00:55

mYthos

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Darauf wollte ich die ganze Zeit hinaus. Wenn der Winkel negativ ist, dann ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ zu addieren, so kommst du in den 4. Quadranten.
Manche Rechner liefern aber einen Winkel im 2. Quadranten! Somit wäre nur die Addition von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ richtig.

Nun musst du noch erklären, weshalb bei d) der Winkel $\begin{eqnarray*} 1,5 \pi \end{eqnarray*}$ ist, das ist unverständlich.

mY+

02.11.2010, 01:10

analysisisthedevil

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mmh ok , also wie gesagt wir haben es eben so definiert , dass der winkel immer im 4. quadranten liegt wenn der realteil >0 und der imaginärteil<0 ist.
Nur so langsam habe ich dann nich mehr so das vertrauen in unseren dozenten.

der winkel $\begin{eqnarray*} 1,5\pi \end{eqnarray*}$ kommt zustande weil z=-8i

hier haben wir eben festgelegt, das $\begin{eqnarray*} \phi=1,5\pi \end{eqnarray*}$

immer wenn der realteil Re(z)=0 und der imaginärteil Im(z)<0

dazu muss ich villeicht noch anmerken , das wir eben keine taschenrechner benutzen dürfen usw. da die zuständigen an unserer werten hochschule zu diesem semester beschloßen haben dass wir das alles von hand machen müssen.

02.11.2010, 01:29

mYthos

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Es ist einfach schon zu spät für die Tageszeit und ich bin unaufmerksam. Der Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ (entspricht 270°) ist ja jetzt richtig. Ich hatte die 1,5 überlesen.

mY+

02.11.2010, 01:49

analysisisthedevil

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kein Problem Wink

Wink

02.11.2010, 10:29

corvus

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Zitat:

Original von analysisisthedevil

mit dem Taschenrechner , was ich übrigens bei der Klausur nich anwenden darf, ergibt:

$\begin{eqnarray*} \arctan (-\frac{\sqrt 3} 3)=-29.99 \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

geschockt

genau deshalb habe ich dir oben empfohlen, nicht mit dem Tangens herumzuirren Wink

Wink

verwende z=|z|*[cos(ß) +i*sin(ß)] und den Einheitskreis, dann kannst du
doch , auch wenn du offenbar kaum ne Ahnung hast , zumindest eine Zeichnung
machen und vielleicht sogar dann die richtigen/ genauen Werte für den Winkel erahnen ..
siehe oben: Zitat:

und jetzt kannst du den richtigen Winkel narrensicher aus den zwei Bedingungen ablesen:
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha )= \frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$ ......und...... $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha ) = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{11\pi }{6} \end{eqnarray*}$ .. oder 330° oder halt -30°

.

02.11.2010, 13:04

analysisisthedevil

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naja , ich habe ja bisher nur gemacht was man mir in der Vorlesung beigebracht hat.
Unter anderem eben , dass es ok ist wenn wir das so schreiben.
Ich werde mal deinen tip ausprobieren.
Aber am Ende waren die Lösungen von mir ja doch alle richtig und mein Vorgehen war ja auch nicht fehlerhfat , bestenfalls umständlich oder nicht?

Also was du mir geraten hast , werd ich mal ausprobieren.
Aber ich würde trotzdem gerne wissen , was an dieser Begründung Falsch ist:

$\begin{eqnarray*} Re(z)>0 \enspace und \enspace Im(z)<0 \end{eqnarray*}$

das heißt 4. Quadrant deswegen ist
$\begin{eqnarray*} \phi=arctan\frac{b}{a} +2\pi \end{eqnarray*}$

Ich verstehe immernoch nicht , was dagegen einzuwenden ist

02.11.2010, 19:19

analysisisthedevil

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Also ,irgendwie wird die frage die ganze zeit igrnoriert.
Ich soll ja gar nicht den genauen winkel bestimmen oder sonstwas , ich hab doch oben gezeigt dass wir diese regel verwenden sollen um zu bestimmen in welchem quadranten wir uns befinden.
i

03.11.2010, 01:23

mYthos

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Ach wo, es wird doch nichts ignoriert! Mehr, als dir zu sagen, wie man in den richtigen Quadranten kommt, wollen wir doch auch nicht!

Ich verstehe auch nicht, warum du nicht so verfahren willst, wie dir corvus in seiner letzten Antwort geraten hat. Dort wurde dir nahegelegt, nicht mit dem tan zu rechnen, weil ein Tangenswert im gegebenen Intervall mehrfach auftritt. Der negative Tangenswert kann im 2. und im 4. Quadranten liegen, oder sogar im "-1", was aber gleichbedeutend mit dem 4. Qu. ist.

Nun, du willst doch jetzt nicht raten, welchen Wert man zu addieren hat.
Es ist sicher besser, mit Hilfe des Sin und Cos und deren Vorzeichen unfehlbar den richtigen Quadranten zu lokalisieren. Das ist bereits mit Re(z) und Im(z) richtig angedeutet worden:

Re(z) > 0 und Im(z) < 0 führen unweigerlich in den 4. Quadranten, das hat weder jemand bestritten noch gesagt, dass dies von dir falsch ist. Übrigens gehen mit den Vorzeichen von Re(z) und Im(z) ja ohnehin schon synchron die Vorzeichen von Cos und Sin mit (!).

Es ging letztendlich nur um die Frage, den exakten Winkel zu bestimmen, also was zu arctan(b/a) zu addieren ist, damit man diesen bekommt und da wurde von dir $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ präferiert. Das stimmt, wenn der Winkel arctan(b/a) als negativ ausgegeben wird. Das muss jedoch nicht unbedingt der Fall sein, denn das hängt vom Rechner ab.
Am Einheitskreis sieht man übrigens sofort, dass ein negativer Winkel in den 4. Quadranten zeigt.

mY+

03.11.2010, 16:42

analysisisthedevil

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Ok , dankeschön für die Antwort.Mich hat das nur ein wenig irritiert.Die Klausur die auf mich zukommt wird vorraussichtlich eh nicht sonderlich schwer sein und kaum über schema f rechnung rausgehen,deswegen dachte ich ,ich mach das lieber so wie der dozent das uns gesagt hat.

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