Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix

01.11.2010, 11:45

Daniel Lucarz

Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix

Meine Frage:
Ich bin 14 Jahre und studiere an der FernUni Hagen. Deshalb hackt es ein wenig an dem Verständnis der Definitionen. Ich will keine Musterlösung
(will ich schon schön allein machen). Nur das ihr mir einen Ansatz gibt.

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} M = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} | a,b,c \in \mathbb R \right\}\subseteq M_{33}(K) \end{eqnarray*}$

Finde drei Matrizen, die ein Erzeugendensystem von M bilden.

Meine Ideen:
Habe keine Ideen.
Ich verstehe nicht was ein Erzeugendensystem ist, bitte hilft mir.

01.11.2010, 11:56

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix
Ein Erzeugendensystem ist eine Familie von Vektoren (in diesem Fall Matrizen), mit denen du die Elemente der Menge M als Linearkombination darstellen kannst.

14 Jahre und schon Mathe studieren: alle Achtung!

01.11.2010, 12:37

Daniel Lucarz

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RE: Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix
Danke für die schnelle Antwort.
Also man nehme mal an man hat einen Vektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wär dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auch ein Erzeugendensystem oder bin ich total auf der falschen Spur(was ich eher glaube).

01.11.2010, 12:44

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix
Um bei diesem Beispiel zu bleiben:

Für die Menge $\begin{eqnarray*} M = \{a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ wären die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem. Da gehört auch der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zur Menge M. Aber eben nicht nur.

01.11.2010, 12:56

Daniel Lucarz

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RE: Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix
Muss ich dann in meine Aufgabe drei Matrixen in der Form:
$\begin{eqnarray*} a * \begin{pmatrix} x & x & x \\ x & x & x \\ x & x & x \end{pmatrix} + b * \begin{pmatrix} x & x & x \\ x & x & x \\ x & x & x \end{pmatrix} + c * \begin{pmatrix} x & x & x \\ x & x & x \\ x & x & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
finden die M ergeben?

Wäre dann:
$\begin{eqnarray*} a * \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + b * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + c * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
richtig?

oder:
$\begin{eqnarray*} x * \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ -a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + y * \begin{pmatrix} 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ -b & 0 & 0 \end{pmatrix} + z * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c \\ 0 & -c & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.11.2010, 13:08

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RE: Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix

Zitat:

Original von Daniel Lucarz
Wäre dann:
$\begin{eqnarray*} a * \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + b * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + c * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
richtig?

OK. Die 3 Matrizen bilden dann ein Erzeugendensystem.

01.11.2010, 13:12

Daniel Lucarz

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RE: Erzeugendensystem von einer 3x3 Matrix
Vielen Dank für deine Hilfe

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