Beweise zu Mengen

01.11.2010, 13:12

Suse_ratlos

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Beweise zu Mengen

Meine Frage:
Hallo,
ich muss nachfolgende Mengenbeweise bzw. Umformungen vornehmen und darf dabei die Morganschen Regeln verwenden.
Ich bin mir jedoch unsicher, wie man das macht. Für die erste Umformung habe ich mich versucht..., aber das scheint mir etwas zu "leicht" gewesen zu sein.

Lg, Suse

Meine Ideen:
1. $\begin{eqnarray*} (A\cup B)\setminus (A\cap B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (A\cup B\setminus A)\cup (A\cup B\setminus B) \text{ nach Morgan } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (B\setminus A) \cup (A\setminus B) \text{ ist logisch oder? } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (A\setminus B) \cup (B\setminus A) \text{ wegen Distributivität } \end{eqnarray*}$

edit : Latexcode korrigiert.

01.11.2010, 13:17

Suse_ratlo

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Darstellung
Bitte beachtet. dass ich mit solch einem Strich "/" die Differenz meine! Mit u ist die Vereinigung gemeint, mit ^ die Schnittmenge.

$\begin{eqnarray*} (A\cup B) \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} (A\cap B) \end{eqnarray*}$
=(A u B /A) u (AuB/B) wegen Morgan
= (B/A)u(A/B)
= (A/B)u(B/A) wegen Distributivität

01.11.2010, 13:22

Suse_ratlos

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Andere Idee
=(A^B)^c / (AuB)^c (unsere Darstellung nach Morgan ging über Komplement)
= (AIB u B/A) und das hinter dem Strich fällt weg

01.11.2010, 17:32

Reksilat

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RE: Beweise zu Mengen
Hi Suse,

Also der Ausdruck $\begin{eqnarray*} A\cup B\backslash A \end{eqnarray*}$ ist nicht eindeutig. Da fehlt eine Klammer!
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (A\cup B)\backslash A=B\backslash A \end{eqnarray*}$ lässt sich auch beweisen (evtl. mit Hilfe eines Zitats?) - ich weiß nicht, ob der Korrektor das "logisch oder?" akzeptiert.
Im letzten Schritt verwendest Du Kommutativität nicht Distributivität

Gruß,
Reksilat.

01.11.2010, 17:50

Suse_ratlos

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Hallo,

dankeschön! Wie gesagt, wir dürfen die Morganschen Regeln für die Umformung ohne sie nachweisen zu müssen, anwenden. War die Umformung denn sonst so weit in Ordnung?
Auch meine zweite Version?

01.11.2010, 18:00

Reksilat

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Meine Anmerkungen habe ich alle aufgeschrieben. Mehr ist mir nicht eingefallen. smile

smile

Der zweite Teil ist leider nicht mehr so schön formatiert - Mazze ist ganz schön faul geworden. Big Laugh

Big Laugh

Jedenfalls kann ich dem ASCII-Kuddelmuddel entnehmen, dass Du das Komplement von dieversen Mengen betrachtest. Die Frage ist aber: Das Komplement worin?
Dazu benötigt man nämlich immer eine Obermenge.

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01.11.2010, 18:08

Suse_ratlos

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Andere Idee
Hey,

ich hab das mit Latex nicht so recht hinbekommen. Entschuldige. Daher hier die zweite Idee so:
Sei M eine nichtleere Menge und A,B nichtleere Teilmengen.
Laut Definition der Aufgabe ist A / B = das Komplement der Schnittmenge aus A und B

Meine Umformung (zweite Version):
(A vereinigt B) / (A schnitt B) = (A / B) vereinigt (B /A)
= (A schnitt B)^Komplement / (A vereinigt B)^Komplement (das war unsere Darstellung für Morgan)
= ((A / B) vereinigt ( B / A)) / (A vereinigt B)^Komplement
nun habe ich mir gedacht, dass das hinterm Strich wegfällt, da es ja quasi nix ist (höchstens ne andere Teilmenge aus M) und irgendwas - nix egal ist...
= (A / B) vereinigt ( B / A) - was herauskommen sollte

Zu meiner Umforumg (erste Version):
Die Klammer bezieht sich auf (A vereinigt B) / A usw.
Wenn ich das einfüge ist es ansonsten jetzt erstmal "richtig"? Ja, das mit dem logischen... man sieht es halt, wenn man sich darüber klar wird, aber ich weiß nicht, wie man das beweisen kann...

Welche Umformung ist denn "besser"?

Beste Grüße, Suse

01.11.2010, 18:18

Reksilat

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RE: Andere Idee
Beweisen lässt sich die Gleichung $\begin{eqnarray*} (A\cup B)\backslash A=B\backslash A \end{eqnarray*}$ wie jede andere Mengengleichheit auch - mit beidseitiger Inklusion.

Zitat:

(A vereinigt B) / (A schnitt B) = (A / B) vereinigt (B /A)
= (A schnitt B)^Komplement / (A vereinigt B)^Komplement (das war unsere Darstellung für Morgan)
= ((A / B) vereinigt ( B / A)) / (A vereinigt B)^Komplement
...

Das rote ist die Behauptung - die hat mitten in einem Beweis nichts zu suchen.
Außerdem ist das Komplement von $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Sicherheit nicht $\begin{eqnarray*} (A\backslash B)\cup (B\backslash A) \end{eqnarray*}$
(Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} A=B=\emptyset, M=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

So, ich mach jetzt Feierabend. Wink

Wink

Ciao,
Reksilat.

02.11.2010, 17:10

Suse_ratlos

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2. Aufgabe
Behauptung: x Element (A ohne (B ^ C)) = x Element ((A ohne B) u (A ohne C))

Zu zeigen: x Element (A ohne (B ^ C)) FOLGT x Element ((A ohne B) u (A ohne C))
Beweis:
x Element (A ohne (B ^ C))
=> x Element A UND x kein Element (B ^ C)
=> x Element A UND x Element (B ^ C)Komplement
=> x Element A UND x Element (BKomplement u CKomplement)
=> x Element A UND (x Element BKomplement ODER x Element CKomplement)
=> (x Element A UND x Element BKomplement) ODER (x Element A UND x Element CKomplement)
ferrtig

Zu zeigen: x Element ((A ohne B) u (A ohne C)) FOLG x Element (A ohne (B ^ C))
Beweis: (später)

Daraus folgt Äquivalenz und die Behaupung ist bewiesen.
Alles richtig gemacht?

Beste Grüße, Suse

PS: Sorry, aber Latex spinnt bei mir und macht mir immer Fehlermeldungen unglücklich

unglücklich

02.11.2010, 17:26

Reksilat

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RE: 2. Aufgabe
Wieso spinnt LaTeX? Wenn es Probleme gibt, dann sind wir hier ja auch daran interessiert.
Du kannst im ersten Beitrag auch mal auf "Zitat" klicken, dann siehst Du den Quelltext.
So ist es jedenfalls ziemlich schwer lesbar.

Zitat:

Behauptung: x Element (A ohne (B ^ C)) = x Element ((A ohne B) u (A ohne C))

Das x hat hier noch nichts zu suchen. Ich nehme mal stark an, dass hier nur die Mengengleichheit zu zeigen ist.

Zitat:

Beweis:
x Element (A ohne (B ^ C))

Was ist x? Um x ordentlich einzuführen solltest Du Dir die Wendung "Sei $\begin{eqnarray*} x\in ... \end{eqnarray*}$ " angewöhnen.

Ansonsten ist es soweit in Ordnung.

02.11.2010, 17:45

Suse_ratlos

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Hallo,

na Latex zeigt mir immer einen Fehler an, wenn ich meine komplizierten Schreibweisen eingebe... Bei normaler Vereinigung o.s. geht es, aber wenn ich alles hintereinander will, spinnts...

Wie auch immer: Lässt man das "x" also am Besten einfach ganz weg? Dann macht es doch auch Sinn, oder?
Ich bin jedenfalls echt glücklich, wenn das so in Ordnung ist... saß echt lange dran. Für dich/euch vielleicht total albern, aber ich hab das eben alles nich so schnell gecheckt... mein erster eigener, komplett alleine geführter Beweis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der zweite Teil:
Zu zeigen: x Element ((A ohne B) u (A ohne C)) FOLG x Element (A ohne (B ^ C))
Beweis:
x Element (A ohne (B ^ C))
=> x Element (A ^BKomplement) u (A ^CKomplement))
=> x Element (A ^(BKomplement) u CKomplement))
=> x Element (A ^(B a C)Komplement)
=> x Element (A ohne (B ^C)
fertig

Hinweis: Ich habe für die Umformungen ohne weiteren Nachweis das Distributivgesetz genutzt. Außerdem dürfen die Morganschen Regeln verwendet werden sowie, dass A ohne B dasselbe ist wie A schnitt BKomplement.

Beste Grüße, Suse

02.11.2010, 17:51

Suse_ratlos

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Wegen "x"
Ich habe das Element x übrigens verwendet, weil ich sonst ein Problem habe, folgendes darzustellen:
=> x Element A UND x kein Element (B ^ C)
=> x Element A UND x Element (B ^ C)Komplement

Wie macht man das sonst?

02.11.2010, 17:55

Reksilat

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Das x ist oben schon richtig, nur in der Behauptung hat es nichts verloren und im Beweis muss es eben korrekt eingeführt werden. (Mit "Sei ...")

Zitat:

na Latex zeigt mir immer einen Fehler an, wenn ich meine komplizierten Schreibweisen eingebe... Bei normaler Vereinigung o.s. geht es, aber wenn ich alles hintereinander will, spinnts...

Du musst auch nicht gleich die ganze Zeile am Stück texen. Manchmal reichen auch einzelne Symbole.

Zitat:

Sei(!) x Element (A ohne (B ^ C))
=> x Element (A ^BKomplement) u (A ^CKomplement))
=> x Element (A ^(BKomplement) u CKomplement))
=> x Element (A ^(B a C)Komplement)
=> x Element (A ohne (B ^C)
fertig

Die erste Zeile ist falsch. Es muss $\begin{eqnarray*} x\in((A \setminus B) \cup (A \setminus C)) \end{eqnarray*}$ sein, schließlich zeigst Du dann ja auch die andere Richtung.
Was ich nicht verstehe ist, warum Du hier überhaupt nicht mit dem x argumentierst. Du machst doch nur Mengenumformungen. Diese sind für mich allerdings nicht immer sofort klar, vor allem wenn Du nicht schreibst, wo Du gerade ein Zitat verwendest.

EDIT: Feierabend! Wink

Wink

02.11.2010, 18:19

Suse_ratlos

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Aufgabe 1
Nun möchte ich meine erste Umformung vom ersten Post noch einmal aufgreifen.
Ich benutze für den Beweis:
- das Kommutativgesetz
- Äquivalenz aus Aufgabe 2
- Hinweis: A ohne B = A schnitt BKomplement

Beweis - Aufgabe 1
Dieser Beweis wird ohne ein "x" geführt, da ich denke, dass ich es nicht unbedingt brauche...
Hinweis: A' bzw. B' meinen immer das Komplement. Mit "-" meine ich den Schnitt.

Richtung 1:
$\begin{eqnarray*} (A\cup B)- (A\cap B) \Rightarrow (A-B)\cup (B-A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ((A\cup B)-A)\cup ((A\cup B)-A) \end{eqnarray*}$ (nach Aufgabe 2)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ((A\cap B)\cap A')\cup ((A\cap B)\cap B') \end{eqnarray*}$ nach Hinweis
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ((A'\cap A)\cup (A'\cap B))\cup ((B'\cap A)\cup (B'\cap B)) \end{eqnarray*}$ nach Distributiv.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ((A\cap A')\cup (B\cap A'))\cup ((B\cap B')\cup (A\cap B'))<br /> \Rightarrow (A-A)\cup (B-A)\cup (B-B)\cup (A-B) \end{eqnarray*}$ nach Kommutativ und Hinweis
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (B-A)\cup (A-B)\Rightarrow (A-B)\cup (B-A) \end{eqnarray*}$ (Hoffe, dass A-A sich aufhebt und daher verschwindet, wirklich trivial ist...)

Beweis - Aufgabe 2
Also schreibe ich am Anfang einfach x sei Element von M und dann zeige ich meine beiden Richtungen wie bereits hier gepostet und schreibe je dahinter, woher ich das habe (also Anwendung Kommutativgesetz o.ä.)?
Dann ist das okay?

Beste Grüße, Suse

03.11.2010, 09:25

Reksilat

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RE: Aufgabe 1
Hi Suse,

Das ist jetzt wirklich verwirrend, denn die Folgerungspfeile haben da absolut nichts verloren.
- Entweder Du machst Umformungen von Termen/Ausdrücken, dann muss da aber ein Gleichheitszeichen stehen
- Oder Du betrachtest Aussagen wie $\begin{eqnarray*} x\in ... \end{eqnarray*}$ , dann nimmt man Folgerungspfeile.

Lies Dir das doch mal Durch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (A\cup B)- (A\cap B) \Rightarrow (A-B)\cup (B-A) \end{eqnarray*}$

Das ergibt doch keinen Sinn. Wie soll aus einer Menge etwas folgen?
Genausowenig ist auch " $\begin{eqnarray*} 5\Rightarrow 7 \end{eqnarray*}$ " sinnvoll oder " $\begin{eqnarray*} \text{Hund}\Rightarrow \text{Katze} \end{eqnarray*}$ ".
Mach Dir noch mal den Unterschied zwischen Aussagen und Ausdrücken/Termen klar.

Und bitte trenne optisch die Behauptung vom Beweis! Wenn irgendwo ein Gleichheitszeichen oder ein Folgerungspfeil steht, dann muss auch immer klar sein, was es bedeutet, also ob es nur eine Behauptung und noch zu zeigen ist, oder ob es durch ein logisches Argument gefolgert wird.

Deinen Beweis habe ich mal korrekt aufgeschrieben:

Zitat:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} (A\cup B)- (A\cap B) = (A-B)\cup (B-A) \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} (A\cup B)- (A\cap B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = ((A\cup B)-A)\cup ((A\cup B)-A) \end{eqnarray*}$ (nach Aufgabe 2)
$\begin{eqnarray*} = ((A\cup B)\cap A')\cup ((A\cup B)\cap B') \end{eqnarray*}$ nach Hinweis - Achtung! hier muss noch $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ stehen!
$\begin{eqnarray*} = ((A'\cap A)\cup (A'\cap B))\cup ((B'\cap A)\cup (B'\cap B)) \end{eqnarray*}$ nach Distributivität.
$\begin{eqnarray*} = ((A\cap A')\cup (B\cap A'))\cup ((B\cap B')\cup (A\cap B')) \end{eqnarray*}$ nach Kommutativität
$\begin{eqnarray*} = (A-A)\cup (B-A)\cup (B-B)\cup (A-B) \end{eqnarray*}$ nach Hinweis
$\begin{eqnarray*} = (B-A)\cup (A-B)= (A-B)\cup (B-A) \end{eqnarray*}$ (Hoffe, dass A-A sich aufhebt und daher verschwindet, wirklich trivial ist...)

Der Gedankengang stimmt also (bis auf den kleinen Tippfehler in der dritten Zeile). Ein x brauchst Du wirklich nicht, denn Du vollziehst hier ja eine Umformung der Mengen, d.h. Du fängst mit der einen Menge an und formst diese mittels bekannten Resultaten so lange um, bis die andere dasteht. Du zeigst damit auch gleich, dass beide Mengen identisch sind. Eine Unterscheidung in Hin- und Rückrichtung brauchst Du daher nicht.

Gruß,
Reksilat.

03.11.2010, 09:36

Suse_ratlos

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Hallo,

erstmal danke für deine Mühen!

Ich fasse mal zusammen:
Wenn ich sagen möchte, dass ein x Element einer Menge ist und daraus weitere Aussagen folgere (wie bei Aufgabe 1) dann nutze ich "=>" und muss eine Hin -und eine Rückrichtung zeigen!

Wenn ich gleich zeigen möchte/kann, dass die Mengen äquivalent sind und das ohne das "x" auch kann, dann nutze ich zwischen den Aussagen ein "=" und brauche nur eine Richtung zu zeigen.
(Weil es ja da nicht um ein x in einer Menge geht, sondern wirklich nur um die gleichen Aussagen...)

Alles richtig verstanden? Ich hoffe doch... auch schön, dass jetzt der Beweis so okay ist *jippi*

Nun habe ich aber noch zwei Fragen:
1. Ist meine Behauptung hier dann bei Aufgabe 2 wirklich "Linke Seite" = "Rechte Seite", während bei Aufgabe 1 gilt "x Element Linke Seite" => "x Element rechte Seite" und dann noch die Rückrichtung für die Gleichheit?!
2. Kannst du mir ein Anstoß für folgenden Beweis geben (mit dem komme ich gar nicht zurecht):
$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup /B\cap C)\cup (C\cap A)= (A\cup B)\cap (B\cup C)\cap (C\cup A) \end{eqnarray*}$

Beste Grüße, Suse

03.11.2010, 09:51

Reksilat

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Wenn man zeigen will, dass zwei Mengen A und B gleich sind, zeigt man normalerweise, dass sie gegenseitig ineinander enthalten sind, also dass gilt: $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ .
Für den ersten Teil nimmt man sich ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und zeigt, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ ist und für den zweiten Teil macht man es anschließend andersherum.
Wichtig ist hier nur, dass man am Anfang das $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ beliebig wählt, also keine weiteren Einschränkungen macht, denn man will hier ja zeigen, dass alle x aus A auch wieder in B liegen.

Manchmal ist es aber auch möglich, die Mengen direkt ineinander zu überführen, dann fängt man eben mit einer Menge an und formt sie nach bekannten Regeln um, bis die ander Menge dasteht, also $\begin{eqnarray*} A=...=B \end{eqnarray*}$ . Das hat hier ganz gut funktioniert.
(Übrigens: Mengen können nicht "äquivalent" sein, sondern höchstens "gleich".)

Welche dieser Beweisstrategien die beste ist, hängt eben von der Aufgabe und den persönlichen Vorlieben ab. Bei der einen Aufgabe bist Du eben den ersten Weg gegangen und bei der anderen den zweiten. Es ist auch gut, zu sehen, dass beides geht.

Zur neuen Aufgabe:
Diese kannst Du auch wieder direkt ineinander überführen. Fang also mit einer Menge an und forme sie mittels bekannter Gesetzmäßigkeiten um. Die Distributivität sollte hier (mehrfach) ganz hilfreich sein

EDIT: Das mit dem LaTeX-Editor bekommst Du ja inzwischen prima hin. Danke dafür. Blumen

Blumen

03.11.2010, 09:59

Suse_ratlos

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Dankeschön.

Ich denke, dass es mir jetzt etwas klarer ist.
Nur noch eine "doofe" Nachfrage: Bei Aufgabe 1 schreibe ich doch aber
"Sei x Element (A ohne (B schnitt C))
=> ...."

oder?

Nun versuche ich mich mal an der letzten umformung...

03.11.2010, 10:04

Reksilat

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Genau. Man nimmt sich ein Element aus der ersten Mengen und zeigt dann mit logischen Folgerungen, dass es auch in der zweiten Menge liegt.

03.11.2010, 10:46

Suse_ratlos

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Ich komme einfach nicht weiter... ich erreiche jedes Mal nur elendig lange Terme, aber nix Gescheites.
Mal hier mein "Beginn":
$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup (B\cap C)\cup (C\cap A)<br /> = (A\cap B)\cup (C\cap A)\cup (B\cap C)<br /> = (A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)<br /> = (A\cap (B\cup C))\cup (B\cap C)<br /> \end{eqnarray*}$

03.11.2010, 10:53

Reksilat

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Sieht schon gut aus bis dahin. [...]

EDIT: Am besten Du liest den Ausdruck nun als $\begin{eqnarray*} (X\cap Y)\cup Z \end{eqnarray*}$ und verwendest dann Distributivität.

03.11.2010, 12:56

Suse_ratlos

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Danke,

jetzt habe ich es fast. Nur noch ein Problem, was noch nicht ganz aufgeht.
Ich habe am Ende
$\begin{eqnarray*} (B\cap C)\cup (B\cup C) \end{eqnarray*}$
übrig. Dies müsste, damit alles stimmt genau (B vereinigt C) ergeben. Aber das krieg ich nicht mit Umformen hin (höchstens halt wieder mit der Bemerkung, dass dies gekürzt trivial ist)

LG; Suse

PS: Hab ne Idee, wäre es so richtig:
$\begin{eqnarray*} (B\cap C)\cup (B\cup C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =((B\cup C)\cup B)\cap((B\cup C)\cup C)<br /> =(B\cup C)\cap(B\cup C) \end{eqnarray*}$ (das ist ja nun wirklich trivial oder?)
$\begin{eqnarray*} =(B\cup C) \end{eqnarray*}$ (Idempotenz)

03.11.2010, 13:21

Suse_ratlos

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Weitere Frage
Wie können eigentlich folgende zwei Mengen durch ihre Elemente beschrieben werden?:

(A schnitt B)Komplement vereinigt mit (A schnitt C)Komplement
= x Element M UND x nicht Element (A schnitt B schnitt C) ?!

Vereinigung von n nach N (Schnitt von n nach N Ai)
= keine Idee

Wie geht man eigentlich an Aufgaben heran, wo für eine Menge ein Intervall gegeben ist (z.B. hier offenes Intervall von 1/2n bis 1/n, wobei n Element der natürlichen Zahlen ist) und man Teilmengen beschreiben soll, die beispielsweise so definiert sind:
A= Schnitt von 1 bis unendlich von Ai

Da habe ich gar keinen Plan zu...

03.11.2010, 16:04

Reksilat

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RE: Weitere Frage
Der Rest des Beweises scheint also geklappt zu haben. Freude

Freude

Für die neue Aufgabe solltest Du auch mal einen neuen Thread aufmachen, denn letztlich kannst Du auf diese Weise weitere Helfer ansprechen, die sonst vielleicht nicht mehr in diesen schon sehr weit fortgeschrittenen Thread gucken würden... und ich mache für heute außerdem Feierabend.

Versuche da dann aber bitte die Aufgabe wieder zu texen.

Hinweis dazu:
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=0}^{n}A_i \end{eqnarray*}$

code:
1:	\bigcup_{i=0}^{n}A_i

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