irreduzibles Polynom

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
irreduzibles Polynom
Hi...

ich habe folgende Aufgabe... sei L/K eine Körpererweiterung und a,b aus L seien algebraisch über K.
Mit F wird das Minimalpolynom von a bezeichnet und mit G das Minimalpolynom von b.

zu zeigen ist, dass F irreduzibel über K(b) ist genau dann wenn G irreduzibel über K(a) ist...

( dabei ist K(b) der kleinste Körper, der K und b enthält, also {c + db|c,d aus K} )

Jetzt wollte ich das so machen:

ich nehme an, dass F irreduzibel über K(b) ist, dann ist ein Körper...

wenn ich jetzt einen Isomorphismus zu angebe, dann muss das doch auch ein Körper sein und somit ist G auch irreduzibel über K(a) oder?

und als Isomorphismus nehme ich folgende Abbildung:



also, a und b sind da die Elemente aus L, F und G sind Restklassen. Und c,d sind sozusagen Koordinaten... also wie man jede komplexe Zahl auch erstmal als Paar von reellen Zahlen auffassen kann...

und das das ein Isomorphismus ist, ist leicht einzusehen...

kann man das so machen? - ich bin mir nicht ganz sicher, weil ich ja nie benutzt habe, dass F und G Minimalpolynome sind und wenn man vorraussetzungen nicht benutzt ist ja meistens was falsch...

danke erstmal - Sunwater
Matsch Auf diesen Beitrag antworten »

Der kleinste Teilkörper, der K und b enthält, muss nicht nur K und b sein, er kann noch andere Elemente haben.
Bsp. wäre K(³Wurzel(p)) mit p Rimzahl. Dieser Körper hat 3 Basiselemente.

Hab aber leider auch kein Plan, wie's gehen soll.
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