Beweis inverses Element

01.11.2010, 21:51

diddy449

Beweis inverses Element

zu zeigen:
Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (ab)^-1=b^-1 a^-1 \end{eqnarray*}$

mein Ansatz

Bew:
Seien $\begin{eqnarray*} e\in G \end{eqnarray*}$ neutrales Element und $\begin{eqnarray*} a^-1,b^-1\in G \end{eqnarray*}$ inverse Elemente

$\begin{eqnarray*} (ab)^-1=(ab)^-1 * e * e=(ab)^-1 *(a*a^-1)*(b*b^-1)=((ab)^-1 * ab)* a^-1 * b^-1=e*a^-1 * b^-1=a^-1 * b^-1 \end{eqnarray*}$

Zwei Unsicherheiten bei meinem Ansatz:

1)Bei der Voraussetzung (Seien...): muss ich " $\begin{eqnarray*} a^-1,b^-1\in G \end{eqnarray*}$ inverse Elemente" dazu schreiben, wie ich es gemacht habe, kann ich es weglassen oder muss ich es soagr weglassen?

2)Bei $\begin{eqnarray*} ...=(ab)^-1 *(a*a^-1)*(b*b^-1)=((ab)^-1 * ab)* a^-1 * b^-1=... \end{eqnarray*}$ :
darf ich das einfach machen?
hier setze ich das Assoziativgesetz und das Kommunitativgesetz ein, doch das Kommunitativgesetz gilt nur für abelsche Gruppen und das ist in der Voraussetzung nicht gegeben.
Ist ein solcher Ansatz über das neutrale Element gar nicht möglich oder muss ich nur kleine Sachen umändern?

01.11.2010, 23:01

gitterrost4

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RE: Beweis inverses Element
Ich nehme an, G ist eine Gruppe. Gruppen sind im Allgemeinen NICHT kommutativ.

01.11.2010, 23:02

system-agent

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Du hast hier tatsächlich Kommutativität genutzt und das ist nicht OK.
Das Element $\begin{eqnarray*} (ab) \end{eqnarray*}$ hat als Inverses das Element $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ , also gilt
$\begin{eqnarray*} (ab)^{-1}(ab)=e \end{eqnarray*}$ . Nun nutze Assoziativität.

01.11.2010, 23:15

diddy449

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Darf ich

$\begin{eqnarray*} a^-1* e * b^-1 \end{eqnarray*}$

das neutrale Element einfach zwischen die Verknüpfung setzen oder wäre das wieder kommutativ?

01.11.2010, 23:39

system-agent

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Das neutrale Element darfst du immer dazwischensetzen. Dieses eine Element kommutiert ganz sicher mit jedem anderen Element der Gruppe.

Übrigens in LaTeX schreibe

code:
1:	a^{-1}

und du kriegst $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ .

01.11.2010, 23:59

diddy449

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Ein kleiner tipp wäre echt super,

ich verstehe, dass ich irgendwo ein $\begin{eqnarray*} (ab)* (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ zufügen muss und dann Klammern umsetzen, aber ich kriege das nicht hin ohne ein $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ zu spalten.

PS. Danke für ^{-1}

02.11.2010, 02:29

diddy449

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Hat sich erledigt:

Das Problem war, dass ich statt
$\begin{eqnarray*} b^{-1}a^{-1} = (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1} = (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$
versucht habe mit $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1}(ab)=e \end{eqnarray*}$ zu verknüpfen.

Und es blieben immer Reste zurück, die ich ohne das Kommutativgesetz nicht lösen konnte.

Erst als ich auf die Idee kam, dass es auch geht, wenn ich statt
$\begin{eqnarray*} (ab)^{-1}(ab)=e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ba)^{-1}(ba)=e \end{eqnarray*}$
schreibe.

Dann konnte ich endlich
$\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1} = (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} (ba)^{-1}(ba)=e \end{eqnarray*}$ beweisen.

Und am Ende sah ich erst, dass die eigentliche Form
$\begin{eqnarray*} b^{-1}a^{-1} = (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist, hier kann man dann mit den intuitiv ersteren $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1}(ab)=e \end{eqnarray*}$ beweisen.

Naja, wie auch immer.
Danke für die Hilfe und Geduld

02.11.2010, 13:31

gitterrost4

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Zitat:

Original von diddy449
Dann konnte ich endlich
$\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1} = (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} (ba)^{-1}(ba)=e \end{eqnarray*}$ beweisen.

Das ist einfach falsch $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist im Allgemeinen NICHT gleich $\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$

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