Multiplikative Gruppen mit neutralem Element e

02.11.2010, 16:53

Nadelspitze

Multiplikative Gruppen mit neutralem Element e

Sei (G, * ) eine endliche abelsche Gruppe mit n Elementen. Zeigen Sie, dass dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{g\in G}g^2(:=g_{1}^2 *g_{2}^2 * ... * g_{n}^2) = e \end{eqnarray*}$

Gilt auch stets $\begin{eqnarray*} \prod_{g\in G}g = e \end{eqnarray*}$ ?

Was wir (ich ^^) wissen:
Es ist eine abelsche Gruppe:
(1) eine Verknüpfung der Elemente der Gruppe bilden ein Element der Gruppe
(2) das Assoziativgesetz gilt
(3) es gibt ein neutrales Element (hier als e benannt)
(4) für jedes Element a in der Menge gibt es ein Element b so das gilt a * b = b*a = e (hier gibt es leider kein Sternchen... allerdings ist mir klar, dass dies kein Multiplikationszeichen sein muss)
(5) kommutativgesetz gilt, da es sich um eine Abelsche Gruppe handelt.
(6) die Gruppe hat Endlich viele Elemente

Wir wollen wissen, ob
$\begin{eqnarray*} \prod_{g\in G}g^2(:=g_{1}^2 *g_{2}^2 * ... * g_{n}^2) = e \end{eqnarray*}$

Überlegung:
Es muss für jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ein inverses Element $\begin{eqnarray*} g'\in G \end{eqnarray*}$ geben, so das gilt g*g'=e

nun könnte ich ja sagen, dass
$\begin{eqnarray*} g_{1}^2*g_{n}^2=e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_{2}^2*g_{n-1}^2=e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_{3}^2*g_{n-2}^2=e \end{eqnarray*}$
usw.

Da es sich hier um eine endliche Gruppe handelt wird ja jedes Element der Gruppe genutzt. Und da das kommutativ gilt, kann man auch paare bilden so das am ende da stehen würde $\begin{eqnarray*} (g_{1}^2*g_{n}^2)*(g_{1}^2*g_{n}^2)*(g_{3}^2*g_{n-2}^2)*...=e*e*e*...*e=e \end{eqnarray*}$

allerdings ist mir nicht ganz klar, wie ich das schreibe.

zu 2.
Ich bin der Meinung, dass es auch hier gilt, da wieder jedes Element genutzt wird und ich wieder dank kommikativgesetz sagen kann $\begin{eqnarray*} g_{1}*g_{n}=e; g_{2}*g_{n-1}=e \end{eqnarray*}$

02.11.2010, 16:55

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert denn wenn ein Element zu sich selbst invers ist?
Ansonsten ist deine Idee richtig.

02.11.2010, 17:21

Nadelspitze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
Was passiert denn wenn ein Element zu sich selbst invers ist?
Ansonsten ist deine Idee richtig.

dann wäre 1. fall= g^2=n*e=e

der zweite fall $\begin{eqnarray*} g_n! \end{eqnarray*}$

02.11.2010, 17:42

Nadelspitze

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wegen dem doppelpost aber man darf leider nur nach 15 min Editieren Ups

Bedeutet das denn, ich muss hier eine Fallunterscheidung machen, in dem ich e definiere als

1) $\begin{eqnarray*} e=g*g \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} e=g_x*g_y=g_y*g_x \end{eqnarray*}$
?

02.11.2010, 18:00

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kiste gerade offline ist:

Nein, Fallunterscheidung ist nicht nötig.

Zu 1) würde ich noch schreiben wieso du $\begin{eqnarray*} \OE \end{eqnarray*}$ (ohne Einschränkung) annehmen darfst, dass $\begin{eqnarray*} a_1^2*a_n^2=e,~a_2^2*a_{n-1}^2=e\dots \end{eqnarray*}$ gilt.

Bei der zweiten Aufgabe spielt das, was kiste angesprochen hat, eine wichtige Rolle. Was ist der Unterschied zur ersten Aufgabe, was könnte also mit einem selbstinversen Element Probleme machen?

Edit: Mit der Begründung zur ersten Aufgabe sollte die zweite Aufgabe dann auch einfacher sein. Augenzwinkern

02.11.2010, 18:19

Nadelspitze

Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich das nicht mit der Antwort 17:21Uhr begründet?

Wenn ein Element zu sich selbst invers ist, ist $\begin{eqnarray*} g^2=e \end{eqnarray*}$
demnach kann ich also $\begin{eqnarray*} \OE \end{eqnarray*}$ (ohne Einschränkung) annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a_1^2*a_n^2=e,~a_2^2*a_{n-1}^2=e\dots \end{eqnarray*}$ , da Elemente die zu sich selbst Invers sind, durch die Quadratierung das neutrale Element ergeben, die anderen Elemente, ja wie oben erwähnt mit ihrem inversen multipliziert werden, da das inverse ja Element von G sein muss.

zu 2)
Wenn G ein Element erhält, welches zu sich selbst invers ist, wäre die Aussage falsch, da dieses nie mit sich selbst multipliziert wird.

Aber wie schreibt man so etwas mathematisch auf?

02.11.2010, 18:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da hab ich die Antwort nicht genau genug gelesen.

Ja, die Kommutativität ermöglicht das Vertauschen und damit funktioniert der Beweis (etwas elementarer wäre es das als $\begin{eqnarray*} (g_1*\dots *g_n)*(g_1*\dots *g_n) \end{eqnarray*}$ aufzuspalten und dann mit der Kommutativität etc. zu argumentieren).

Zur 2 kannst du eine abelsche Gruppe mit n Elementen nehmen mit $\begin{eqnarray*} g_i=g_i^{-1} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} i\in\{1,\dots n\} \end{eqnarray*}$ .

02.11.2010, 18:42

Nadelspitze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Oh, da hab ich die Antwort nicht genau genug gelesen.

Ja, die Kommutativität ermöglicht das Vertauschen und damit funktioniert der Beweis (etwas elementarer wäre es das als $\begin{eqnarray*} (g_1*\dots *g_n)*(g_1*\dots *g_n) \end{eqnarray*}$ aufzuspalten und dann mit der Kommutativität etc. zu argumentieren).

Zur 2 kannst du eine abelsche Gruppe mit n Elementen nehmen mit $\begin{eqnarray*} g_i=g_i^{-1} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} i\in\{1,\dots n\} \end{eqnarray*}$ .

Kann ich zu 2 nicht einfach sagen, dass
$\begin{eqnarray*} (g_1*\dots *g_n)<>e \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} g_{i}=g_{i}^{-1} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} i \in {1,...,n} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht so recht, was ich da jetzt genau alles auf das Blatt Schreiben soll.
Der Übungsleiter meinte zuletzt schon, dass er keine Aufsätze lesen möchte sondern Beweise...

02.11.2010, 18:46

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Beweis darf durchaus auch einige Zeilen Prosa enthalten.

Auf $\begin{eqnarray*} g_1*\dots * g_n \neq e \end{eqnarray*}$ läuft es hinaus, aber wieso ist das so? Augenzwinkern

(Das ist ein halber Satz der dazu gehört, das scheint dir jetzt trivial zu sein, ist allerdings wichtig.)

02.11.2010, 19:01

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Beweisidee ja schon vom Threadersteller kam und man sich jetzt darüber streiten könnte, wie man das am besten aufschreibt, sodass es wirklich als sauberer Beweis gilt, mal mein Vorschlag:

Man betrachte mal die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: G \to G,~ g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$
Wie man leicht zeigt, ist f eine Bijektion. Weil G endlich ist, reicht es sogar Injektivität oder Surjektivität zu zeigen, beides geht recht flott.

Also gilt $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G}g = \prod_{g \in G}f(g) = \prod_{g \in G}g^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G}g \end{eqnarray*}$ ergibt nun die Behauptung.

Das schöne an dem Beweis: Man muss gar kein Wort darüber verlieren, ob jetzt irgendwelche Elemente selbstinvers sind oder nicht. So verzettelt man sich nicht mit zu viel Getexte, sondern kann sich auf das Wesentliche konzentrieren.

Zur b) Es reicht ein KONKRETES Gegenbeispiel. Der Einfachheit halber nimmt man eine Gruppe mit nur 2 Elementen. Das ist dann das Gegenteil von einem Aufsatz Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Multiplikative Gruppen mit neutralem Element e

Verwandte Themen