Funktionsuntersuchung

13.11.2006, 17:08

janaina

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Funktionsuntersuchung

Hallo Leute, komme leider bei meiner Funtkionsuntersuchung zu der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1,5+cos(2x)+2cos(x) \end{eqnarray*}$ nicht weiter!
Bitte bitte helft mir!

Als Definitionsbereich habe ich D=R
Symmetrie: Achsensymmetrie (da nur cosinuse in der Funktion...;-) )
Periode: $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$
sieht dann mein Intervall so aus: $\begin{eqnarray*} [0;2\pi] \end{eqnarray*}$ ?
Nun will ich die Nullstellen ausrechnen, stoße hierbei aber auf ein kleines Problem:
in meiner Formelsammlung steht für cos(2x) folgendes $\begin{eqnarray*} cos(2x)=2cos^2(x-1) \end{eqnarray*}$
nun bin ich mir aber nicht ganz sicher, ob es wirklich heißen soll $\begin{eqnarray*} cos^2(x-1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} cos^2(x)-1 \end{eqnarray*}$ da es in der Formelsammlung nicht ganz eindeutig steht...
vielleicht könnt ihr mir ja schon einmal diese Frage beantworten, dann ist meine andere eigentlich überflüssig!

13.11.2006, 17:13

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} (sin(x))^2=1-(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

Das muss also wohl stimmen (das erste)

13.11.2006, 17:23

janaina

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also meinst du, dass 2cos(x-1) stimmt?! Aber wie soll ich denn dann meine Nullstelle berechnen? Das Substitutionsgesetz hilft hier nicht gerade weiter...

denn ich hätte dann ja stehen:

$\begin{eqnarray*} 2cos^2(x-1)+2cos(x)+1,5=0 \end{eqnarray*}$

soll ich dann eine andere Einsetzung für cos(2x) wählen?

13.11.2006, 18:35

sqrt4

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sorry aber jetzt seh ichs erst ... welche Formelsammlung verwendest du bitte???

Das kann doch nie und nimmer stimmen.... setz mal einen beispielswert ein..

Edit:

$\begin{eqnarray*} cos (2 \alpha)= 2(cos(\alpha))^2-1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Tut mir leid.

13.11.2006, 19:10

janaina

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macht doch nix;-)

benutze das Tafelwerk von cornelsen.

also dann hab ich schonmal berechnet:

cos(x)=-0,5
und somit $\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{5}{3} \pi \end{eqnarray*}$
ist das richtig?

13.11.2006, 19:21

sqrt4

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ja cos(x)=-0,5 stimmt (quadratische Gleichung)

aber!!!
$\begin{eqnarray*} cos(\frac{5}{3}\pi)=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{4}{3}\pi)=-0,5 \end{eqnarray*}$

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13.11.2006, 19:27

janaina

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aber wie kommst du denn auf die 4/3?

Also, ich hab die (2/3) rausbekommen, indem ich im Rechner einfach $\begin{eqnarray*} cos^-1 \end{eqnarray*}$ eingegeben hatte....also auf die 4/3 würde ich gar nicht kommen...
kannst du mir vielleicht noch verraten wie du das gemacht hast? Danke;-)

14.11.2006, 01:56

Bjoern1982

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Mal eine Skizze zur Verdeutlichung.

Die schwarze Kurve entspricht einem Teil der Kosinuskurve.
Die rote Parallele geht durch y= - 0,5 und soll verdeutlichen, dass es zwei Stellen im Intervall 2pi gibt, an denen die Kosinuskurve den y-Wert - 0,5 annimmt.

An der mittleren blau gekennzeichneten Stelle ist eine halbe Schwingung vollzogen, also entspricht das pi

Links davon befindet sich als erste blaue Stelle der x-Wert 2/3 pi
Und rechts von der Stelle pi befindet sich aus symmetrischen Gründen dann 4/3 pi.

Also wenn man von der stelle pi aus 1/3 pi nach links und 1/3 pi nach rechts geht, erhält man den y-Wert - 0,5 im Intervall 2pi.

14.11.2006, 16:53

janaina

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Hallo Björn Big Laugh

Big Laugh

Also, wenn ich dich richtig verstanden habe, dann orientiert man sich also immer am Graphen?!
Bei cos(x)=0 z.B. wäre die nächste Stelle +kpi und genau so bei cos(x)=1!

Sind meine Ableitungen auch richtig?

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -2sin(x)-2sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= -4cos(2x)-2cos(x) \end{eqnarray*}$

und die erte Ableitung mit Hilfe der Formelsammlung gleich null gesetzt, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} -2sin(x)cos(x) -2sin(x)=0 \end{eqnarray*}$

und dann als Stellen:

$\begin{eqnarray*} sinx=0 \end{eqnarray*}$ ....V.... $\begin{eqnarray*} cos(x)=-1 \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 17:24

Bjoern1982

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Hallo Janaina Wink

Wink

Zitat:

Bei cos(x)=0 z.B. wäre die nächste Stelle +kpi und genau so bei cos(x)=1!

Naja, so ähnlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Taschenrechner spuckt dir ja bei arccos(0) erstmal 90° aus, was ja pi/2 als Bogenmaß entspricht.

Das entspricht ja der ersten Nullstelle in meiner Skizze.

Also pi/2 von x=pi nach links ist man bei dieser Nullstelle und pi/2 von x=pi nach rechts ist man bei 3/2 pi.

Als erste Ableitung erhalte ich aber etwas anderes, denn cos(2x) abgeleitet ist ja wegen cos(2x)=2cos²(x)-1 dann - 4sin(x)cos(x) oder eben ohne diese Substitution -2sin(2x).

Gruß Björn

14.11.2006, 17:37

janaina

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verwirrt

also du hast jetzt genommen

$\begin{eqnarray*} 2cos^2(x)+2cos(x)+0,5 \end{eqnarray*}$

und die Ableitung von 2cos²(x) ist nicht -4sin(x)?
also so dass ich dann raus hätte:

$\begin{eqnarray*} -4sin(x)-2cos(x) \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 17:39

janaina

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achso...ich glaube ich weiß was du meinst!

meine 2 in der Klammer fehlt bei der ersten Ableitung!
Das war aber nur ein Abtippfehler!

$\begin{eqnarray*} -2sin(2x)-2sin(x) \end{eqnarray*}$

wäre aber logischer, wenn ich die andere Ableitung nehme, denn dann brauch ich die Formelsammlung nicht, oder?

14.11.2006, 17:42

Bjoern1982

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Genau, und man kann damit auch einfacher die Nullstellen zur Extremwertberechnung bekommen Freude

Freude

Gruß Björn

14.11.2006, 17:54

janaina

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Aber Björn...wenn ich die erste Ableitung jetzt null setze, dann habe ich nur sin(x)=0 raus...und das kann nicht richtig sein...immerhin habe ich zwei unterschiedliche Hoch- und Tiefpunkte in meinem Graphen unglücklich

unglücklich

14.11.2006, 18:06

Bjoern1982

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Wenn du die erste Ableitung gleich null setzt steht ja da:

-4sin(x)cos(x)-2sin(x)=0

<=> -2sin(x) (2cos(x)+1))=0

<=> -2sin(x)=0 oder 2cos(x)+1=0

Und das hat dann schon mehrere Lösungen.

Gruß Björn

14.11.2006, 18:11

janaina

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aber wie bist du denn jetzt auf diese Ableitung gekommen?

ich hab das doch mit der Ableitung gemacht (und mit der müsste das doch auch hinkommen?!)

$\begin{eqnarray*} f(x)=2cos^2(x)+2cos(x)+0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-4sin(x)-2sin(x) \end{eqnarray*}$

was ist denn an meiner Ableitung jetzt falsch? verwirrt

verwirrt

traurig

14.11.2006, 18:14

Bjoern1982

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Sorry, ich bin jetzt erstmal weg Sport machen.

Schaue aber nachher nochmal in den Thread rein.

Bis dann Wink

Wink

Gruß Björn

14.11.2006, 18:32

janaina

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okay, víel Spaß;-)
muss auch jetzt weg...bin später aber auch wieder da;-)
Wink

Wink

14.11.2006, 23:58

Bjoern1982

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So, da bin ich nochmal.

Also wenn du 2cos²x=2(cos(x))² ableitest erhälst mit Hilfe der Kettenregel folgendes:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2 \cdot cos(x) \cdot (-sin(x))=-4 \cdot cos(x) \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Die äußere Funktion ist ja quasi 2x² und diese abgeleitet ist 4x.
Deswegen musst du schon cos(x) noch mitschleppen.

Damit solltest du dann auf 5 Extremstellen kommen.

Gruß Björn

15.11.2006, 06:56

janaina

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Achso! die innere Ableitung muss man dann von cosx machen! geschockt

geschockt

Danke Björn! Habe jetzt auch die richtigen ExpremPUNKTE raus;-)

Kannst du mir noch sagen, ob meine zweite Ableitung richtig gebildet ist? Habe die Produktregel angewendet, so dass rauskommt:

f''(x)= 44cos²(x)+4sin²(x) -2cos(x)

15.11.2006, 10:09

Bjoern1982

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Genau, mit der Produktregel sollte es klappen, hast wahrscheinlich nen Abschreibfehler drin, denn

- 4cos²(x)+4sin²(x)-2cos(x)

sollte rauskommen.

Man könnte hier noch sin²(x)=1-cos²(x) ersetzen und dann zusammenfassen, aber wenn du eh nichts weiter mit er zweiten Ableitung machen willst, kannste das auch so stehen lassen.

Falls du doch noch Wendestellen berechnen sollst wird es leider etwas unschön.

Gruß Björn

15.11.2006, 10:28

janaina

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Ja, war abtippfehler;-)

Gut, jetzt habe ich raus:

cos(x)=0,366

und jetzt habe ich doch mehrere Wendestellen, mache ich das dann so?

--> x1= 0,38 pi
und x2= 0,38 pi + (pi/2) ?
und x3= 0,38 pi + pi?

15.11.2006, 11:03

janaina

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noch eine Frage zwischendurch:

mein höchtes Extrema liegt ja bei y=4,5...heißt das meine Amplitude ist 2,25? oder ist sie 2, weil in der Ausgangsfunktion einmal 2cos(x) steht? verwirrt

verwirrt

15.11.2006, 11:21

Bjoern1982

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Also ich bekomme bei

-8cos²(x)-2cos(x)+4=0 <=> cos²(x)+0,25cos(x)-0,5=0

mit der Substitution u=cos(x) auf eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen für u.

Ich erhalte nach Resubstitution cos(x)=0,593 oder cos(x)=-0,843

Nach x aufgelöst entspricht das ungefähr einen Winkel von 53,63 ° oder 147,46° (0,298 pi oder 0,819 pi)

Die symmetrischen Wendestellen wäre dann 1,702 pi oder 1,181 pi.

Laut Graph er Funktion dürfte das auch in etwa hinkommen.

Gruß Björn

15.11.2006, 17:39

janaina

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Ich bin so doof Hammer

Hammer

...ich habe (1/4) geteilt durch 2 falsch gerechnet!

Also ich dachte jetzt wirklich das mit dem Graphen verstanden zu haben, aber nun komme ich auf die ersten beiden x-Werte: 0,298 pi und 0,819 pi aber nicht auf die zweiten: 1,702 pi oder 1,181 pi....
hatten heute wieder Mathe, aber ich trau mich nie meinen Lehrer was zu fragen unglücklich

unglücklich

15.11.2006, 23:51

Bjoern1982

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Zitat:

aber nicht auf die zweiten: 1,702 pi oder 1,181 pi....

$\begin{eqnarray*} \pi = 180° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\alpha}{180} \cdot \pi \end{eqnarray*}$

Demnach entsprechen 147,46° im Bogenmaß x= 0,819 pi.
Diese Stelle liegt ja um 0,181 Einheiten links von pi.
0,181 Einheiten rechts von pi liegt dann 1,181pi.

Analog erhält man die andere Stelle zum Winkel 53,63.

Ich bin allerdings auf diesem Gebiet kein Experte. Es gibt evtl einfachere Methoden, wie man hier vorgehen kann.

Ich hoffe einfach mal dass dir das weiterhilft.

Edit:

Zitat:

hatten heute wieder Mathe, aber ich trau mich nie meinen Lehrer was zu fragenunglücklich

Ist dein Lehrer echt so furchteinflößend ?

Gruß Björn

16.11.2006, 20:10

janaina

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Der ist mehr als furchteinflößend Teufel

Teufel

Also, vielleicht kommt das ja auf das selbe raus...jedenfalls ist es etwas einfacher, habe ich jetzt rausgefunden, wenn man die Stelle, die man errechnet hat, einfach von 2pi abzieht...

also in unserem Fall war ja die eine Stelle (2/3)pi und um die zweite Stelle zu erhalten, rechnet man:
2pi - (2/3)pi = (4/3)pi

jedenfalls kommt das bei all den Stellen, die wir raus haben hin...ob das immer so ist...oder nur, wenn die Periode auch 2pi ist, weiß ich allerdings nicht...

vielleicht kannst du mir ja noch sagen, ob ich folgende Teilaufgabe richtig gerechnet habe:

der Graph, die x-Achse und die y-Achse begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche A. Bestimmen Sie u (u>0) so, dass die Gerade zu x=u diese Fläche halbiert.

Also erstmal berechne ich ja die Fläche von der y-Achse (x=0) bis zu unserer ersten Nullstelle ( x=(2/3)pi)...
Die hab ich laut meinem Rechner sogar richtig berechnet *stolz* Big Laugh

Big Laugh

undzwar 4,44...oder halt 1,414pi

meine Stammfunktion ist übrings F(x) 1,5x + 0,5sin(2x) + 2sin(x)

und dann bilde ich erstmal das Integral für x=u allgemein:
1,5u + 0,5sin(2u)+2sin(2u)+2sinu

und wenn ich ich diese Fläche jetzt mal 2 nehme und 1,414pi gleichsetze...und dann nach u auflöse, dann müsste ich doch auf das Ergebnis kommen, oder?

17.11.2006, 01:05

Bjoern1982

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Jap, ich denke so sollte es klappen Freude

Freude

Kannst ja mal posten was du so rausbekommen hast.

Gruß Björn

17.11.2006, 12:12

janaina

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naja...weiter komme ich leider nicht unglücklich

unglücklich

Denn ich weiß nicht wie ich nach u auflösen soll, wenn u auch noch in der "Sinusklammer" steht.

also mein Term ist ja folgender:
$\begin{eqnarray*} <br /> 2(1,5u + 0,5sin(2u)+2sin(2u)+2sin(u)) = 1,414 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3u+ sin(2u)+4sin(2u)+2sin(u)) = 1,414 \pi \end{eqnarray*}$

und jetzt weiß ich nicht, wie ich am besten fortfahren soll, um nach u aufzulösen verwirrt

verwirrt

17.11.2006, 14:27

janaina

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okay...das war seltsam und falsch geschrieben..

also mein Term den ich auflösen muss, sieht am Ende so aus bei mir:

$\begin{eqnarray*} 3u + sin(2u) +4sin(u)=1,41\pi \end{eqnarray*}$

nur weiß ich nicht wie ich ihn auflösen soll..

17.11.2006, 22:50

Bjoern1982

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Tja, das weiss ich leider auch nicht so wirklich....höchstens mit einem Näherungsverfahren wie das Newtonverfahren.

Wenn du das 1,41pi noch auf die andere Seite bringst kann man ja versuchen eine Nullstelle zu bestimmen.

Mein Programm sagt mir dass die bei ungefähr x=0,522639... liegen muss.
Vielleicht gibts einen eleganten Weg wie man an das gesuchte u gelangt aber ich bin da leider im Moment überfragt, sorry.

Vielleicht weiss ja jemand anderes hier noch Rat smile

smile

Gruß Björn

18.11.2006, 09:11

janaina

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Schade;-)
Aber vielen Dank für deine Hilfe bis hier hin Bjoern! Mit Zunge

Mit Zunge

Ja, es wäre wirklich toll, wenn sich jemand anderes finden würde! Die Lösung würde mich jetzt wirklich mal brennend interessieren smile

smile

18.11.2006, 16:13

mYthos

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Hi!

Ich habe den Thread mal überflogen und sehe eigentlich keine Schwierigkeiten, die goniometr. Gleichung ist normal lösbar, oder habe ich etwas verpasst?

Ich schreib' nur kurz hier, wie ich das sehe, es geht ja nur um die Nullstellen der Originalfunktion bzw. deren Ableitung:

$\begin{eqnarray*} 1,5 + cos(2x) + 2cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$

wegen

$\begin{eqnarray*} cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 \end{eqnarray*}$

kommt nun

...

$\begin{eqnarray*} 2cos^2(2x) + 2cos(x) + 0,5 = 0 \end{eqnarray*}$

diese quadr. Gleichung hat die Doppellösung

$\begin{eqnarray*} cos(x) = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{2\pi}{3}, \ .. \, \ usw. \end{eqnarray*}$

Auch die erste Ableitung hat berechenbare Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} -2sin(2x) - 2sin(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x) \cdot [2cos(x) + 1] = 0 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} x = 0 + k \cdot\pi; \ und \ \ x = \frac{2\pi}{3} + k \cdot \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$

.. usw.

Das wird auch durch den Graphen bestätigt!

mY+

18.11.2006, 16:49

janaina

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Hallo Mythos Wink

Wink

Was hast du denn da gerade gerechnet? Die Funtkionsuntersuchung haben wir doch schon hinter uns verwirrt

verwirrt

Waren gerade bei dieser Aufgabe hier : der Graph, die x-Achse und die y-Achse begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche A. Bestimmen Sie u (u>0) so, dass die Gerade zu x=u diese Fläche halbiert.
und versuchen gerade rauszubekommen, wie man den Term nach u auflöst!

3u + sin(2u) + 4sin(u) = 1,41 pi

...oder habe ich jetzt verpasst und deine Antwort bezog sich doch auf diese Aufgabe verwirrt

verwirrt

18.11.2006, 17:02

Bjoern1982

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Joa, ich hatte mYthos per PN darum gebeten mal in den Thread zu schauen und zu gucken ob er noch eine Idee hätte.

Hat mich aber wohl etwas missverstanden.

Habe ihm aber noch eine PN geschickt und ich denke wenn er Zeit hat wird er noch was zum Thema schreiben.

Mal so am Rande...kennst du das Newton Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen ?

Gruß Björn

18.11.2006, 18:42

mYthos

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OK, da hatte ich doch was verpasst, das kommt von der Eile, sorry.

Bei der Gleichung braucht man nicht lange hinzusehen, um festzustellen, dass sie nicht algebraisch lösbar ist, denn der Winkel kommt sowohl "solo" als auch in einer Winkelfunktion vor; da hilft nur noch ein Näherungsverfahren, z.B. Newton.

Dieses hatten wir schon öfters hier im Bord. Wenn du ein wenig mit Excel umgehen kannst, kann mit dessen Hilfe zunächst der Startwert und dann die Nullstelle bestimmt werden. Natürlich geht's auch mittels anderer CAS, aber meistens sehen dies die Lehrer nicht gerne, weil dem Schüler dann alles - auch die Denkarbeit - abgenommen wird. Bei Excel muss man aber genau wissen, wie das Verfahren abläuft, sonst klappt's nicht; es wird einem nur die stumpfe Rechenarbeit abgenommen.

Wenn es noch Fragen dazu gibt, kann dies noch näher erläutert werden.

mY+

19.11.2006, 10:41

janaina

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hmm...von newton hab ich noch nie was gehört...also von dem Verfahren;-)
Kannst du mir vielleicht kurz erklären was da gemacht wird?

19.11.2006, 13:17

mYthos

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Suche mal im Board hier, es gibt schon zahlreiche Thread über dieses Thema, tw. auch von mir ... Big Laugh

Big Laugh

Auf die Schnelle:

Newtonsches Verfahren

Newton Verfahren nicht verstanden

Newtonverfahren

mY+

19.11.2006, 17:24

janaina

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irgendwie kommt mir das seltsam vor....wieso sollte uns unser Mathe-lehrer eine Aufgabe aufgeben, die wir gar nicht lösen können?!
Kann noch mal einer überprüfen, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist?
BITTE Big Laugh

Big Laugh

19.11.2006, 20:21

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Björn und ich haben's überprüft und sind auf dieselbe Gleichung gekommen; wenn dir das zu wenig ist (fehlerlos ist natürlich niemand von uns), findet sich vielleicht noch wer!

Für mich ist die Sache jedoch solange abgeschlossen, bis du dazu nicht noch eine essentielle Frage hast.

mY+

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