gleichmäßige Konvergenz für ein Kollokationsverfahren

02.11.2010, 22:02	Uthred	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige Konvergenz für ein Kollokationsverfahren meine gewöhnl. Diff.Gleichung ist: $\begin{eqnarray} [Lu](x):=-\epsilon^2 u^{''}(x)+r(x)u(x)=f(x)$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $x \in [0,1], u(0)=0=u(1), 0<\epsilon << 1, r(x)>0$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $r(x), f(x)$ \end{eqnarray}$ ausreichend glatt gesucht ist ein $\begin{eqnarray} $u_N \in S^1_{p}(\pi_N)$ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} $p=2...5$ \end{eqnarray}$ (einmal stetig diff.barer Spline aus N Polynomen p-ten Grades), so dass $\begin{eqnarray} $[L u_N](\tau_{ij})=f(\tau_{ij})$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\tau_{ij} \in [x_{i-1},x_i]$ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} $i=1...N, j=1...p-1$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $u_N(0)=0=u_N(1)$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\pi_N$ \end{eqnarray}$ ist ein Diskretisierungsgitter auf $\begin{eqnarray} $[0,1] : 0=x_0<x_1<..<x_N=1$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\pi_N$ \end{eqnarray}$ ist äquidistant, Shishkin-, Bakhvalov-Gitter(angepasste Gitter) $\begin{eqnarray} $\tau_{ij}$ \end{eqnarray}$ sind Kollokationsstellen, an welchen die Diff.gleichung erfüllt ist. Bei den vorgegebenen $\begin{eqnarray} $\epsilon, r(x),f(x)$ \end{eqnarray}$ führt die Diskretiesierung auf ein lin. Gleichungssystem, welches beim Lösen alle Koeffitienten für alle Polynome ausgibt, aus denen der Lösungs-Spline besteht. Es gibt Grenzschichten (mit sehr steilen, von $\begin{eqnarray} $\epsilon$ \end{eqnarray}$ abhängigen Anstiegen) an 0 und 1, jedenfalls bei den num. Versuchen. Nun, alles ist in Matlab implementiert worden und numerische Versuche zeigen für verschiedene $\begin{eqnarray} $\epsilon$ \end{eqnarray}$ 's und Polynomgrade zu erwartende Konvergenzergebnisse. Die Sache ist jetzt ein Theorem für die gleichmäßige Konvergenz des Verfahrens zu formulieren und zu beweisen. Wie geht man bei so etwas vor? Der diskrete Operator(das resultierende Gleichungssystem) nimmt in sich nicht nur die DGL (Kollokationsstellen), sondern auch die Bedingung der einmal stetigen Differenzierbarkeit auf. Ich weiss nicht, ob das ein Problem ist. Wie sollte ich vorgehen? Hat jemand eine Ahnung bei sowas? Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »