Nebenklassen (links/rechts)

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wiley Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenklassen (links/rechts)
Hi, ich habe ein parr Fragen bezüglich rechter und linker Nebenklasse.

laut http://mathematik-netz.de/pdf/Faktorgruppen.pdf

Zitat:
Es sei G eine Gruppe, H<G eine Untergruppe (=:UG). Eine Linksnebenklasse von H in G ist eine Teilmenge von G der Gestalt

aH := {ah |h aus H, a aus G } (in multiplikativer Gestalt)
a+H := {a+h |h aus H, a aus G } (in additiver Gestalt).


Also hab ich mal ein einfaches Beispiel (versucht)konstruiert.
G={1,2,3,4,5}
H={2} also ist diese offensichtlich eine UG.

aH := {a2|h aus H, aus G } also aH={2,4,6,8,10}? aber {6,8,10} ist ja
im grunde die Menge aH keine Teilmenge mehr von G.
___________

könnt ihr mir je ein beispiel für eine rechte und linke nebenklasse angeben
wobei diese nebenklasse keinen normalteiler darstellt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist H={2} offensichtlich eine Untergruppe? Eine Gruppe braucht außerdem eine Verknüpfung, und die einzige Gruppe mit einem Element ist die triviale (Unter)gruppe, und ich denke die meinst du hier nicht.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nebenklassen (links/rechts)
mit welcher verknüpfung versiehst du deine gruppe G ?

die einzige einelementige untergruppe ist die, die nur das neutrale element enthält, das soll bei dir die 2 sein?

mach dir erst noch mal gedanken, was eine gruppe überhaupt ist, du hast eine meneg aufgeschrieben und gesagt, diese menge sei eine gruppe, ist sie aber nicht, wenn ich die mit der multiplikation aus den reellen zahlen betrachte, denn es liegt zum beispiel 2*5=10 nicht in der gruppe, also ist die menge gegen * nicht abgeschlossen, also auch keine gruppe........
wiley Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal danke für eure schnellen antworten smile

ok neuer versuch, dann sei G=(Z, *), *-sei mult.
und H=({2,4}, *)

dann ist die linksnebenklasse alle vielfachen von 2?
indem fall wäre linksNK=rechtNK? also ein normalteiler?
___________

könnt ihr mir je ein beispiel für eine rechte und linke nebenklasse angeben
wobei diese nebenklasse keinen normalteiler darstellt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst einen Schritt zu schnell. Verstehe doch erst einmal Gruppen bevor du dich an Nebenklassen ranwagst. Die sind so schon schwer genug am Anfang zu verstehen, da solltest du wenigstens das Konzept der Gruppe verinnerlicht haben.

Warum ich das erwähne?
Z ist keine Gruppe mit der Multiplikation, die Inversen fehlen. Und dein H ist weder abgeschlossen, noch hat es das neutrale Element enthalten.
wiley Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke,
die menge der rationalen zahlen dürfte die eigenschaft der inversen mit sich bringen
da bezüglich a ex. a^(-1) mit a*(1/a)=(1/a)*a=e=1
also g=(Q,*)

-ist abgeschlossen
-ist assoziativ beuüglich der mult.
-neutrales element ex.
-inverse element ex für jedes element.

für jede untergruppe gilt, dass diese widerum auch eine gruppe darstellt, also
die selben axiome erfüllt sein müssen.

sei H ({1/4, 1, 4},*)

H ist offensichtlich assoziativ, neutrales element sowie inverses element ex.
bei der abgeschlossenheit bin ich mir aber nicht sicher,
weil 4*4 ist nicht mehr in der Menge der gruppe H.

für H ({..., 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 ,1, 2, 4, 8, 16, 32, ...},*)
müsste das fehlende axiom der abgeschlossenheit dann aber gültig sein.
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die 0 rausnehmen. Die hat kein Inverses.

Die Nebenklassen sehen jetzt folgendermassen aus(du hast dir nicht gerade das einfachste Beispiel gesucht, die symmetrische Gruppe auf 3 Elementen wäre imo anschaulicher):
Für jedes Element gibt es eine Zerlegung in Primfaktorpotenzen, eventuell sind diese Potenzen aber negativ. Beispielsweise ist 1/4 = 2^-2
Jetzt betrachten wir eine Nebenklasse . Sei die Primfaktorzerlegung von r gleich . Dann ist .
Wie gesagt, nicht das einfachste Beispiel, kann man sich aber noch vorstellen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wiley


für H ({..., 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 ,1, 2, 4, 8, 16, 32, ...},*)
müsste das fehlende axiom der abgeschlossenheit dann aber gültig sein.


ja, nun hast du eine untergruppe von Q.

mach es dir doch aber erst mal leichter und betrachte endliche gruppen und ihre untergruppen...
wiley Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Zitat:
Original von wiley


für H ({..., 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 ,1, 2, 4, 8, 16, 32, ...},*)
müsste das fehlende axiom der abgeschlossenheit dann aber gültig sein.


ja, nun hast du eine untergruppe von Q.

mach es dir doch aber erst mal leichter und betrachte endliche gruppen und ihre untergruppen...


wollte ich ja mit zB. h( {1/4,1,4}, ?)
aber bezüglich der mult, is diese nicht abgeschlossen. da 4*4 nicht mehr in der menge, denn die abgeschlossenheit a*b muss auch für a=b gelten oder?
also brauch ich eine andere verknüpfungsoperation
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

dann nimm eine endliche gruppe und eine untergruppe, es ist selten, dass die untergruppe einer endlichen gruppe unendlich ist Augenzwinkern
wiley Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Du musst die 0 rausnehmen. Die hat kein Inverses.

Die Nebenklassen sehen jetzt folgendermassen aus(du hast dir nicht gerade das einfachste Beispiel gesucht, die symmetrische Gruppe auf 3 Elementen wäre imo anschaulicher):
Für jedes Element gibt es eine Zerlegung in Primfaktorpotenzen, eventuell sind diese Potenzen aber negativ. Beispielsweise ist 1/4 = 2^-2
Jetzt betrachten wir eine Nebenklasse . Sei die Primfaktorzerlegung von r gleich . Dann ist .
Wie gesagt, nicht das einfachste Beispiel, kann man sich aber noch vorstellen


nochmal zu diesem beispiel,


müsste es nicht

sein, da ich in meiner untergruppe auch die elemente 1/2 und 2 in der menge habe?
wiley Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
dann nimm eine endliche gruppe und eine untergruppe, es ist selten, dass die untergruppe einer endlichen gruppe unendlich ist Augenzwinkern


^^, ich meinte ja G(Q,*)
und H ist UG von G mit H({1/4, 1, 4),*)

somit ist G unendlich, aber H endlich.
aber ist H trotzdem abgeschlossen?
da 4*4 nicht mehr in der menge, denn die abgeschlossenheit a*b muss auch für a=b gelten oder? also brauch ich eine andere verknüpfungsoperation
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du unbedingt in Q bleiben willst, nimm doch H = ({-1,1},*)

Und nein, deins wäre wieder nicht abgeschlossen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wiley
müsste es nicht

sein, da ich in meiner untergruppe auch die elemente 1/2 und 2 in der menge habe?

Ja irgendwie war ich in Gedanken beim Erzeugnis von 4 nicht von 2
wiley Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen dank nochmal für die vielen und schnellen antworten,
aber dennoch einige weitere fragen ^^

kann man dann sogar sagen, dass es sich bei dem von uns konstruierten
beispiel bei H sogar um einen Normalteiler handelt,

da für jedes g aus G\{0} gilt, gilt, also
linke nebenklasse = rechte nebenklasse.

laut meiner vorlesung war noch in klammern geschrieben,
dass ker(f) ist stets Nullteiler, womit ich aber in zusammenhang
mit normalteiler nicht viel anfangen kann.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe bereits Normalteiler.

Und der kern ist auch immer ein Normalteiler(sogar "der" Normalteiler, jeder Normalteiler kann als Kern einer Abbildung geschrieben werden).
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