isomorphe Ringe

03.11.2010, 15:34	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
isomorphe Ringe Hallo zusammen! ..hier eine Aufgabe, bei der ich völlig ansteh: Aufgabenstellung Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]/(p) \cong \mathbb Z/p[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb Z[x]/(p, x^2 + 1) \end{eqnarray}$ ..kann mir da jemand helfen? lieben Dank für eure Unterstützung! eisley
03.11.2010, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm die konkret gegebenen Ringe und Ideale, konstruiere die kanonischen Homomorphismen auf die Faktorringe, deren Kerne die Ideale sind. Mach dir klar, wie die jeweiligen Elemente aussehen und konstruiere daraus geeignete Isomorphismen zwischen den Faktorringen. In der Mitte müsste wohl $\begin{eqnarray} \mathbb Z/(p)[x]/(x^2+1) \end{eqnarray}$ stehen und nicht $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p[x]/(x^2+1) \end{eqnarray}$
03.11.2010, 21:22	Jeba	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, diese Aufgabe interessiert mich auch. Mir ist klar, dass die Hauptideale Kerne der Faktorringe sind, aber wie konstruiere ich einen geeigneten Isomorphismus? Kannst du dazu noch einen kleinen Tipp geben? Danke Gruss jeba
04.11.2010, 19:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne dass ich alles durchdacht habe, kann ich nicht gut Hinweise geben, weil ich noch nicht weiß, ob wir damit letzlich zum Ziel kommen. So kann ich eigentlich zu Anfang nur feststellen, dass wegen $\begin{eqnarray} \mathbb C=\mathbb R(i)=\mathbb R[i]\cong \mathbb R[x]/(x^2+1) \end{eqnarray}$ der Verdacht naheliegt, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]\cong \mathbb Z[x]/(x^2+1) \end{eqnarray}$ . Des weiteren geht es bei der Isomorphie $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]/(p)\cong \mathbb Z/(p)[x]/(x^2+1) \end{eqnarray}$ dann um $\begin{eqnarray} \mathbb Z[x]/(x^2+1)/(p)\cong \mathbb Z/(p)[x]/(x^2+1) \end{eqnarray}$ , also im wesentlichen um die Vertauschung der Reihenfolge der Faktorringbildung nach den Idealen $\begin{eqnarray} (p) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x^2+1) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb Z[x] \end{eqnarray}$ , und zum Schluß zeigt man (irgendwie), dass man diesen doppelten Faktorisierungsvorgang durch einen einfachen nach dem Ideal $\begin{eqnarray} (p,x^2+1) \end{eqnarray}$ ersetzen kann .
04.11.2010, 19:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
HILFE ! Muss das Ding in der Mitte nicht doch eher $\begin{eqnarray} \mathbb Z[x]/(p)/(x^2+1) \end{eqnarray}$ heissen ? Sonst funktionieren meine schönen "Hinweise" nicht so schön, und es kommt der endliche Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p=\mathbb Z/(p) \end{eqnarray}$ dazwischen, mit dem ich hier eigentlich nichts anfangen kann . Oder geht das doch ? BITTE Aufgabenstellung klären .
04.11.2010, 20:25	Jeba	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eisley hat das schon richtig so. Danke, damit kann ich schon was anfangen. Habe aber heute keine Zeit mehr mir darüber den Kopf zu zerbrechen. Liebe grüsse Jeba
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