Äquivalenzrelation

03.11.2010, 16:39

Sub

Äquivalenzrelation

Hi,

Meine Frage:
Es seien für $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wie folgt drei Relationen definiert.
Handelt es sich hierbei um Äquivalenzrelationen? Begründe.

Nun zur der ersten.

(a)

$\begin{eqnarray*} aRb\Leftarrow \Rightarrow:a*b\geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist.

Ich muss doch die (Refläxivität, Symmetrie und Transitivität) zeigen,

(Reaflexivität wäre)

$\begin{eqnarray*} a=b R a=b\Rightarrow{a=a , b=b} \end{eqnarray*}$

Es ist doch egal was ich dann für Zahlen a und b einsetze. Das Ergebniss ist doch immer dasselbe, $\begin{eqnarray*} a*b\geq0 \end{eqnarray*}$
unabhängig von der Wahl für a und b, oder?

Aber eine Relation, um eine Äquivalenzrelation sein zu können, muss doch alle (drei) Merkmale zeigen, oder?

03.11.2010, 17:05

TommyAngelo

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RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von Sub
Es ist doch egal was ich dann für Zahlen a und b einsetze. Das Ergebniss ist doch immer dasselbe, $\begin{eqnarray*} a*b\geq0 \end{eqnarray*}$
unabhängig von der Wahl für a und b, oder?

Für die Reflexivität ersetzt du b durch a und schaust, was passiert. Du schaust halt, was aRa ergibt.

Zitat:

Original von Sub
Aber eine Relation, um eine Äquivalenzrelation sein zu können, muss doch alle (drei) Merkmale zeigen, oder?

Die anderen Eigenschaften müsstest du noch untersuchen, ja.

03.11.2010, 17:17

Sub

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RE: Äquivalenzrelation
Ja geanu, also folgt

a=b,

$\begin{eqnarray*} aRa\Leftarrow \Rightarrow:a*a\geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

und dass ist doch immer "gleich, kleiner" Null unabhängig von der Wahl von a
den z.B.

a = -1

1*1 = (-1)*(-1) = 1, für die Null selber macht es ja kein Sinn.

Nun in der Symmetrie gilt doch aRb <--> bRa,

daraus folgt,

$\begin{eqnarray*} a*b\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b*a\geq0 \end{eqnarray*}$ ,

Und das muss doch nicht gelten.
z.B. ich wähle a = -1 und b = 2, dann ist das Produkt a*b kleiner Null.

Deshalbt kann es doch keine Äquivelnzrelation sein, oder?

03.11.2010, 17:54

Merlinius

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Nein, du verstehst das falsch. Schau dir nochmal genau die Definition an.

Für die Symmetrieeigenschaft muss gelten:

Wenn ich zwei beliebige Elemente a, b habe, so dass a ~ b gilt, dann gilt auch b ~ a. Ein Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} aRb :\Leftrightarrow a-b \end{eqnarray*}$ ist gerade.

Wenn jetzt a-b gerade ist, dann ist auch b-a gerade (müsste man hier noch sauber begründen. dass es so ist, ist aber anschaulich klar). Also gilt: $\begin{eqnarray*} aRb \Leftrightarrow a-b \text { gerade} \Leftrightarrow b-a \text { gerade} \Leftrightarrow bRa \end{eqnarray*}$ . Also ist die Relation R symmetrisch.

In deinem Beispiel mit -1 und 2 ist ja schon $\begin{eqnarray*} a\not R b \end{eqnarray*}$ , also muss auch nicht $\begin{eqnarray*} bRA \end{eqnarray*}$ gelten. Du musst zeigen, dass wenn aRb gilt, dann auch bRa.

03.11.2010, 18:06

Sub

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Ich sehes, mein Tipfehler, es war doch die Frage,

Es seien für $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wie folgt drei Relationen definiert.
Handelt es sich hierbei um Äquivalenzrelationen? Begründe.

Hier ist a,b aus Z.

Also muss ich ja nur R durch Z ersetzen dann stimmt es oder?

03.11.2010, 18:12

Merlinius

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Ich verstehe nicht, was du damit meinst. Wo musst du R durch Z ersetzen?

"R" ist hier das Zeichen, das man für "in Relation zu" benutzt. Wenn a in Relation zu b steht, dann schreibt man aRb. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist eine Zahlenmenge.

Also die Reflexivität hast du ja bereits gezeigt. Jetzt musst du bei der Symmetrie zeigen, dass aus aRb folgt: bRa. Also wenn $\begin{eqnarray*} ab \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} ba \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du da ein Gegenbeispiel findest, würde es mich wundern.

03.11.2010, 18:25

Sub

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Jaja, ich habe das aus deinem letzen Beitrag falsch interpretiert...

$\begin{eqnarray*} a\not R b \end{eqnarray*}$

Klar gibt es da wohl kein Gegenbeispiel. Ich hatte nur eben an das (grösser, gleich) Zeichen gedacht.

Das, wenn ich a= -1 setze und mit (b) grösser Null das Produkt bilde, die Aussage nicht mehr stimmt für.

$\begin{eqnarray*} a*b\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b*a\geq0 \end{eqnarray*}$ ,

Oder meintest du mit $\begin{eqnarray*} a\not R b \end{eqnarray*}$ , dass wenn (a kleiner Null ist), es nicht mehr in der Realation mit b steht?

03.11.2010, 18:27

Sub

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Äquivalenzrelation
...

03.11.2010, 19:12

Merlinius

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$\begin{eqnarray*} a\not{R}b \end{eqnarray*}$ bedeutet "nicht aRb", also in deiner Aufgabe nicht $\begin{eqnarray*} ab \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Was ich damit sage, ist dass bereits -1 nicht in Relation zu 2 steht (bei deinem Beispiel), (also nicht $\begin{eqnarray*} -1 \cdot 2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ), daher muss auch nicht bRa gelten. Deshalb ist es kein Gegenbeispiel für die Symmetrie.

Also, du musst hier einfach nur zeigen:

Wähle $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so, dass aRb gilt (also $\begin{eqnarray*} ab \geq 0 \end{eqnarray*}$ ). Jetzt musst du begründen, warum dann auch bRa gilt (also $\begin{eqnarray*} ba \geq 0 \end{eqnarray*}$ ). Damit wäre dann die Symmetrie gezeigt.

03.11.2010, 20:20

Sub

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Äquivalenrelation
$\begin{eqnarray*} aRb\Leftarrow \Rightarrow:a*b\geq 0 \end{eqnarray*}$

Reflexivität:

$\begin{eqnarray*} a^2\geq0\Rightarrow:aRa \end{eqnarray*}$

Symmetrie:

$\begin{eqnarray*} aRb\Rightarrow:a*b\geq 0\Rightarrow:b*a\geq 0\Rightarrow:bRa \end{eqnarray*}$

Transitivität gilt nicht oder?

$\begin{eqnarray*} 1R0 und 0R-1, aber 1\not{R}-1 \end{eqnarray*}$

Ist es jetzt damit bewiesen?

04.11.2010, 13:18

TommyAngelo

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Ja, es ist also keine Äquivalenzrelation.

(Den Doppelpunkt macht man nur am Anfang, wenn man die Relation definiert. Er steht dann aber vor den Äquivalenzpfeilen. Auf der Seite des Doppelpunktes steht das, was definiert werden soll.)

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