Dichtefunktion einer Linearkombination von Zufallsvariablen

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Wodan Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion einer Linearkombination von Zufallsvariablen
Hallo,

wie der Threadtitel schon sagt, geht es um eine Dichtefunktion einer Linearkombination von 2 Zufallsvariablen

folgendes ist gegeben :

Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitzt die Dichte



0 sonst

Die Zufallsvariable sei gegeben durch Z = X + Y

1. Bestimmen Sie den Wert für a

4. Bestimmen Sie die Dichtefunktion von Z


------------------

Habe a folgendermaßen bestimmt



dies liefer a = 1


nun weiß ich aber nicht, wie ich die Dichtefunktion von Z bestimmen soll.
Sofern die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind, ist die Dichtefunktion von Z einfach die Faltung von X und Y .
Nach meiner Rechnung sind X und Y aber nicht unabhängig, da f_xy != f_x * f_y ist.

Bin halt ne Statistikniete ...

Habt vielen Dank
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sowas "ähnliches" wie die Faltung, wo aber eben nicht das Produkt der Randdichten, sondern die gemeinsame Dichte vorkommt:



Das ist die allgemein gültige Formel für einen stetigen Zufallsvektor . Im vorliegenden Fall mit dem kompakten Träger kann das Integral natürlich bereichsmäßig stark eingeschränkt werden, weil der Integrand außerhalb Null ist.
Wodan Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay ! danke dir ! haste vllt eine inetseite zur hand, wo die herleitung steht ?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hab ich nicht - aber die Beweisidee ist folgende: Man bastelt sich eine bijektive Transformation wie etwa

,

bestimmt mit dem Transformationssatz die Dichte dieses neuen transformierten Vektors und bestimmt anschließend die Randdichte bzgl. der zweiten, hier ja gesuchten Komponente: Das ist ja .
Wodan Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun folgendes raus :

René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig - aber nur für .

Die Zufallsgröße kann aber auch Werte zwischen 1 und 2 annehmen, und da läuft die Rechnung (vor allem die Integralgrenzen) etwas anders. Augenzwinkern
 
 
Wodan Auf diesen Beitrag antworten »

ohh okay ?!

aber die Dichtefunktion ist doch nur für werte zwischen 0<1 erklärt ?
für alles andere ergibt dies doch null ?

naja gut ... außer wenn x = 1 ist .. wenn t = 2 dann is "y" ja 2-1 = 1 also doch definiert ?!

hmmm
ich muss kurz nachdenken


bzw anders :
t kann nur den wert 2 annehmen, wenn x = 1 ist

das bedeutet fürs t :

0<=t-x<=1

!?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wodan
das bedeutet fürs t :

0<=t-x<=1

Ja ... und zuende gedacht: Umgestellt heißt das für die Integrationsvariable :

.

Zugleich muss aber (der ersten Komponente wegen) auch gelten. Kombiniert ergibt das im Fall das Integrationsintervall , nur dort ergibt der Integrand was von Null verschiedenes.
Wodan Auf diesen Beitrag antworten »

und somit, mit den vertauschten Grenzen für den Fall 1<=t<=2, ergibt die Dichtefunktion :

2*t - t^2


!?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Vertauschte Grenzen? ? Keine Ahnung, was du damit sagen willst bzw. was du da rechnest. unglücklich
Wodan Auf diesen Beitrag antworten »

René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Und das für - ja, dann stimmt's.

Als Probe kannst du ja überprüfen, ob rauskommt, was ja zwingend erforderlich ist.
Wodan Auf diesen Beitrag antworten »

super ! Danke dir !
Hängt sogar als Aufgabenserie, die benotet wird, zsm !

Deswegen doppelter Dank an dich ! smile
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