Dichtefunktion einer Linearkombination von Zufallsvariablen |
03.11.2010, 20:15 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dichtefunktion einer Linearkombination von Zufallsvariablen wie der Threadtitel schon sagt, geht es um eine Dichtefunktion einer Linearkombination von 2 Zufallsvariablen folgendes ist gegeben : Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitzt die Dichte 0 sonst Die Zufallsvariable sei gegeben durch Z = X + Y 1. Bestimmen Sie den Wert für a 4. Bestimmen Sie die Dichtefunktion von Z ------------------ Habe a folgendermaßen bestimmt dies liefer a = 1 nun weiß ich aber nicht, wie ich die Dichtefunktion von Z bestimmen soll. Sofern die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind, ist die Dichtefunktion von Z einfach die Faltung von X und Y . Nach meiner Rechnung sind X und Y aber nicht unabhängig, da f_xy != f_x * f_y ist. Bin halt ne Statistikniete ... Habt vielen Dank |
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03.11.2010, 21:06 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist sowas "ähnliches" wie die Faltung, wo aber eben nicht das Produkt der Randdichten, sondern die gemeinsame Dichte vorkommt: Das ist die allgemein gültige Formel für einen stetigen Zufallsvektor . Im vorliegenden Fall mit dem kompakten Träger kann das Integral natürlich bereichsmäßig stark eingeschränkt werden, weil der Integrand außerhalb Null ist. |
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03.11.2010, 21:10 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah okay ! danke dir ! haste vllt eine inetseite zur hand, wo die herleitung steht ? |
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03.11.2010, 21:14 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, hab ich nicht - aber die Beweisidee ist folgende: Man bastelt sich eine bijektive Transformation wie etwa , bestimmt mit dem Transformationssatz die Dichte dieses neuen transformierten Vektors und bestimmt anschließend die Randdichte bzgl. der zweiten, hier ja gesuchten Komponente: Das ist ja . |
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03.11.2010, 21:37 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe nun folgendes raus : |
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03.11.2010, 21:42 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig - aber nur für . Die Zufallsgröße kann aber auch Werte zwischen 1 und 2 annehmen, und da läuft die Rechnung (vor allem die Integralgrenzen) etwas anders. |
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03.11.2010, 21:47 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ohh okay ?! aber die Dichtefunktion ist doch nur für werte zwischen 0<1 erklärt ? für alles andere ergibt dies doch null ? naja gut ... außer wenn x = 1 ist .. wenn t = 2 dann is "y" ja 2-1 = 1 also doch definiert ?! hmmm ich muss kurz nachdenken bzw anders : t kann nur den wert 2 annehmen, wenn x = 1 ist das bedeutet fürs t : 0<=t-x<=1 !? |
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03.11.2010, 21:54 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ... und zuende gedacht: Umgestellt heißt das für die Integrationsvariable : . Zugleich muss aber (der ersten Komponente wegen) auch gelten. Kombiniert ergibt das im Fall das Integrationsintervall , nur dort ergibt der Integrand was von Null verschiedenes. |
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03.11.2010, 22:09 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und somit, mit den vertauschten Grenzen für den Fall 1<=t<=2, ergibt die Dichtefunktion : 2*t - t^2 !? |
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03.11.2010, 22:15 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vertauschte Grenzen? ? Keine Ahnung, was du damit sagen willst bzw. was du da rechnest. |
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03.11.2010, 22:21 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
03.11.2010, 22:24 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das für - ja, dann stimmt's. Als Probe kannst du ja überprüfen, ob rauskommt, was ja zwingend erforderlich ist. |
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03.11.2010, 22:59 | Wodan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
super ! Danke dir ! Hängt sogar als Aufgabenserie, die benotet wird, zsm ! Deswegen doppelter Dank an dich ! |
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