Zeigen das die Zeilensummennorm gleich der nactürlich Matrix Maximumsnorm

04.11.2010, 14:35	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen das die Zeilensummennorm gleich der nactürlich Matrix Maximumsnorm Aufgabe: $\begin{eqnarray} $A \in \mathbb R^{m \times n}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\\| A \\|_{\text{ZS}} = \max \limits_{i=1,..,m} \sum \limits^n_{j=1} \|a_{ij}\|\ \text{Zeilensummen Norm}$ \end{eqnarray}$ Zu Zeigen ist, das diese Zeilensummen Norm die natürlich Matrixnorm zur Vektor Maximumsnorm Meine Ansätze $\begin{eqnarray} $x \in \mathbb R^n \ A \in \mathbb R^{m \times n}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\\| A \\|_{\infty} = \sup \limits_{\\|x\\|_{\infty} = 1} \\| Ax\\|_{\infty} = \max \limits_{j = 1,..,n} \left\| \sum \limits_{i =1}^n a_{ji} x_i \right\| \le \max \limits_{j = 1,..,n} \sum \limits_{i =1}^n \left\| a_{ji} x_i \right\| \le \max \limits_{i = 1,..,n} \|x_i\| \cdot \max \limits_{j=1,..,n} \sum \limits_{j=1}^n \|a_{ji}\|$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\text{Da} \ \max \limits_{i = 1,..,n} \|x_i\| = 1 \ \Longrightarrow \\| A\\|_{\infty} \le \\| A \\|_{ZS}$ \end{eqnarray}$ Meine Frage: Nun habe ich das Problem, ich habe jetzt ja gezeigt das die Natürliche Maximums Norm für Matrizen kleiner gleich der Zeilensummen Norm ist. Aber ich sollte ja die Gleichheit zeigen,... denke ich mal. Dann müsste ich doch zeigen, dass es für jede matrix auch den Fall gibt das es umgekehrt ist also, $\begin{eqnarray} $\\| A \\|_{SZ} \le \\|A \\|_{\infty} \ \text{damit ich folgern kann} \ \\|A \\|_{SZ} = \\|A\\|_{\infty}$ \end{eqnarray}$ Weiß irgendwie nur nicht gescheit wie ich des machen soll?! oder ob ich da sowieso falsch denke? Danke schonmal :\|
04.11.2010, 14:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen das die Zeilensummennorm gleich der nactürlich Matrix Maximumsnorm Guck mal hier: [Numerik I] - Übung 1 * Workshop von Tigerbine: Verständnisfrage zur Matrixnorm
04.11.2010, 15:01	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Nur ist mir dann doch etwas noch nicht ganz klar. Muss ich also nur noch zeigen, dass bei $\begin{eqnarray} $\\|A\\|_{\infty} \le \\| A\\|_{SZ}$ \end{eqnarray}$ eben das Supremum erreicht wird? damit ich schreiben kann $\begin{eqnarray} $\\| A \\|_{\infty} = \\| A \\|_{SZ}$ \end{eqnarray}$ Danke schonmal
04.11.2010, 15:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Links nutzen wir die Hilfsgröße S. Dann zeigt man, wie bei Gleichheit üblich $\begin{eqnarray} \leq, \geq \end{eqnarray}$ und damit "=".
04.11.2010, 15:18	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe nur irgendwie check ichs grad nicht,... weil in der Post den du rein gestellt hast, wird das problem bearbeitet $\begin{eqnarray} $\\| A \\|_{\infty} \le \\|A\\|_{SZ}$ \end{eqnarray}$ warum das stimmt, aber das habe ich ja schon oben gezeigt und das verstehe ich Nur ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass es umgekehrt auch gilt?! (Also für die Gleichheit)
04.11.2010, 15:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Erster Link, dort war wieder ein Link. [WS] Lineare Gleichungssysteme 1
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04.11.2010, 15:25	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen DANK! Oh man sorry das ich so schwer von begriff war,.. ich hatte mir schonmal gedacht dass es doch am besten wäre,. einfach den vektor zu nehmen der in allen komponenten 1 ist,.. weil für den würde das auf jeden fall gelten,... nur so ist das natürlich geschickter aufgeschrieben g DANKE
04.11.2010, 15:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtig war die Äquivalenzkette, wie man eine ind. M-Norm aufschreiben kann. Hier nutzt man aus, dass es reicht, normierte Vektoren zu betrachten.

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