Menge der Primzahlen

04.11.2010, 20:19

pivotvariable

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Menge der Primzahlen

Seien $\begin{eqnarray*} p_{1},p_{2},...,p_{n}\in \mathbb P \end{eqnarray*}$ Menge der Primzahlen.

Die frage lautet, ob $\begin{eqnarray*} \left\{ n=p_{1}*p_{2}***p_{i_{n}} +1 \in \mathbb N | p_{1},...p_{i_{n}}\in \mathbb P\right\} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ ist?

mir fällt bloss ein dass 3 mal 5 mal 7 +1 = 106 und somit keine Primzahl.....aber wie beweise ich dies allgemein?? und ist bei solchen Zuordnung p(index1) immer die erste Primzahl 1 oder kann dies auch die 3 sein??

04.11.2010, 20:22

Shortstop

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$\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ kann nie eine Primzahl sein...

04.11.2010, 20:23

pivotvariable

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Ja schon nachvollziehbar aber wie beweise ich dass in diesem Beispiel formal.....

04.11.2010, 20:25

Shortstop

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Ist die Menge überhaupt so richtig oder sollten die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ nicht doch multipliziert werden?

Wenn die Menge so stimmt ist der Beweis ganz einfach: $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ muss gerade sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2010, 20:27

pivotvariable

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Mist muss ich ändern....heißt p_1 mal p_2 .....aber wie klappt das dann?
und bei so einer Menge muss p_1 nicht immer die erste Primzahl sein ?

04.11.2010, 20:30

Beany

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mutipliziert man beliebig viele primzahlen, kommt immer etwas ungerades heraus... addiert man 1, bekommt man eine gerade zahl... die kann keine primzahl sein. sehe ich doch richtig oder?
verstehe nur nicht ganz den bezug zu dieser aufgabe...

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04.11.2010, 20:31

Shortstop

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Ok du willst also vielmehr prüfen, ob für $\begin{eqnarray*} p_1,...,p_k \in \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} n=1+ \prod_{i=1}^k p_i \ \ \in \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ ist?

Dann würde ich das schon so verstehen, dass damit die ersten k Primzahlen gemeint sind?!

edit: Wären nicht die ersten Primzahlen gemeint, also die 2 nicht dabei, wäre der Beweis trivial.

04.11.2010, 20:32

Beany

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ah ok, jetzt, wo die kommas keine kommas mehr sind, sondern *, ergibts sinn...^^

04.11.2010, 20:36

pivotvariable

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wäre das mit der vollständigen Induktion lösbar??

04.11.2010, 20:58

pivotvariable

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ich habe immer noch keinen ansatz punkt.....
Und bezüglic hder Frage wegen der INdizes ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} p_{1}*p_{2}*p_{3}+1 \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl für 2,3,5 mit 31 aber wenn ich sage p_1 sei 3 und dann 5 und 7 wäre es 106 und somit keine Primzahl .....ist hier die Zuordnung Indizes der Menge p_1, ....p_n als Menge der Primzahlen egal ??

und was für ein Beweisansatzpunkt gibt es für die Menge von oben?

04.11.2010, 21:16

wisili

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Auch im ersten Thread vor 2 Stunden war schon Einiges unklar.

04.11.2010, 21:20

pivotvariable

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Ja unter der Voraussetzung es seien $\begin{eqnarray*} p_{1},p_{2}...p_{n}\in \mathbb P \end{eqnarray*}$ ist die Frage ob die oben definierte Menge gleich der Menge der Primzahlen ist...

04.11.2010, 21:23

René Gruber

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Und diese Frage ist bereits seit 20:22 negativ beantwortet.

04.11.2010, 23:39

Schattenlord

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Da hier immer noch rumgerätselt wird:

Bekannt:
(1) $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N}\forall k\in\mathbb{N}\mbox{:}k|(n+1))\Rightarrow k=1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N}\mbox{\textbackslash}\{1\}\exists p\in P\mbox{:}p|n \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Aussagen nun umformt kommt man zu folgendem Ergebnis:
(1) $\begin{eqnarray*} \forall i\in\{1,n\}\mbox{:}p_{i}\not{|}p_{1}\cdot p_{2}\cdot\ldots\cdot p_{n}+1 \end{eqnarray*}$ , weil nur 1 Teiler einer Zahl und ihres Nachfolgers ist.
(2) $\begin{eqnarray*} \exists p\in P\mbox{:}p|p_{1}\cdot p_{2}\cdot\ldots\cdot p_{n}+1 \end{eqnarray*}$ , weil jede Zahl eine Primzahl als Teiler hat.
(1) und (2) bilden einen Widerspruch
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_{i}\in P \end{eqnarray*}$

05.11.2010, 09:30

wisili

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Aus einer offensichtlich falschen Aussage (Bekannt(1)) lässt sich immer leicht ein Widerspruch herleiten. Alles Blödsinn.

05.11.2010, 14:25

Schattenlord

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Zitat:

Original von wisili
Aus einer offensichtlich falschen Aussage (Bekannt(1)) lässt sich immer leicht ein Widerspruch herleiten. Alles Blödsinn.

sry, habe einen teil vergessen eine winzigkeit vergessen.
So soll es aussehen:

Bekannt:
(1) $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N}\forall k\in\mathbb{N}\mbox{:}k|n\wedge k|(n+1))\Rightarrow k=1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N}\mbox{\textbackslash}\{1\}\exists p\in P\mbox{:}p|n \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Aussagen nun umformt kommt man zu folgendem Ergebnis:
(1) $\begin{eqnarray*} \forall i\in\{1,n\}\mbox{:}p_{i}\not{|}p_{1}\cdot p_{2}\cdot\ldots\cdot p_{n}+1 \end{eqnarray*}$ , weil nur 1 Teiler einer Zahl und ihres Nachfolgers ist.
(2) $\begin{eqnarray*} \exists p\in P\mbox{:}p|p_{1}\cdot p_{2}\cdot\ldots\cdot p_{n}+1 \end{eqnarray*}$ , weil jede Zahl eine Primzahl als Teiler hat.
(1) und (2) bilden einen Widerspruch
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_{n+1}\in P \end{eqnarray*}$

06.11.2010, 12:07

pivotvariable

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Also die Aussage von oben mit bekannt 1 ist nicht nachvollziehbar.......aber ein Tipp zur Lösung auf meine am Anfang genannte Frage ist leider auch noch nicht erschienen........langt nicht bereits ein simples Gegenbeispiel zur Wiederlegung wie ich es am Anfag aufgeführt habe???

06.11.2010, 13:51

wirtschaftsmathe

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Es ist eine offene Frage, ob das Produkt der ersten n Primzahlen mit dem Bildungsgesetz für Z+1 unendlich viele Primzahlen oder unendlich viele zusammengesetzte Zahlen ergibt.

Kann diese offene Frage bereits geklärt werden??

06.11.2010, 16:00

pivotvariable

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Das ist ja genau die Frage die meine Aufgabe beinhaltet^^ Wink

Wink

06.11.2010, 16:06

René Gruber

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Zitat:

Original von pivotvariable
Das ist ja genau die Frage die meine Aufgabe beinhaltet

Du bist undurchschaubar, wechselst die Position praktisch in jedem Posting.

Ich empfehle einen Neustart:

Schildere noch mal ganz genau deine eigentliche Problemstellung! Und an den Stellen, wo du es symbolisch nicht kannst (egal, ob aus inhaltlichen Gründen oder wegen Problemen mit dem Board-LaTeX), dann tu es verbal. Damit es hier mal eine klare, verbindliche Grundlage gibt.

Es haben wohl alle verstanden, dass es irgendwie um Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlmenge geht. Aber dieses irgendwie ist das Problem, es ist bisher alles zu verwaschen... unglücklich

unglücklich

06.11.2010, 16:20

pivotvariable

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Seien $\begin{eqnarray*} p_{1},p_{2},...,p_{n}\in \mathbb P \end{eqnarray*}$ Menge der Primzahlen.

Die frage lautet, ob $\begin{eqnarray*} \left\{ n=p_{1}*p_{2}***p_{i_{n}} +1 \in \mathbb N | p_{1},...p_{i_{n}}\in \mathbb P\right\} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ ist?

Genau dass ist die Aufgabe........und ich weiß nicht weiter:

1. Soll ich eine Gegenbeispiel suchen......udn damit ist alles wiederlegt??

2.Oder soll ich das allgemein wiederlegen?? da habe ich keinerlei ahnung wie.....

So und dazu habe ich noch eine Zusatzfrage: Wenn ich bei dieser Menge $\begin{eqnarray*} p_{1}*p_{2}*p_{3} +1 \end{eqnarray*}$ habe sthet p_1 dann für die erste Primzahl? oder für eine beliebige??

06.11.2010, 16:35

René Gruber

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Dasselbe schwammige Zeug vom Eröffnungsposting - ich geb auf. unglücklich

unglücklich

Aber vorher noch folgendes: Wenn $\begin{eqnarray*} (p_k)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ die aufsteigende Folge aller Primzahlen ist (d.h. $\begin{eqnarray*} p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,\ldots \end{eqnarray*}$ ), und man daraus

$\begin{eqnarray*} a_n := p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_n+1 \end{eqnarray*}$

definiert, dann umfasst die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aller dieser $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

(a) weder alle Primzahlen,

(n) noch sind alle diese $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auch wirklich Primzahlen.

(a) ist so zu erkennen: Offenbar ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ streng monton wachsend, und wenn man sich nur die ersten paar $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ansieht

$\begin{eqnarray*} a_1 = 3, \; a_2 = 7,\; a_3 = 31,\; a_4 = 211,\; a_5 = 2311,\; a_6 = 30031 \end{eqnarray*}$

ansieht, dann fehlen da bereits jede Menge Primzahlen wie 5, 11, 13, ... die auch später in der Folge (wegen der strengen Monotonie) nicht mehr dort auftauchen können.

Zu (b) kann man schlicht sagen, dass $\begin{eqnarray*} a_6 \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist:

$\begin{eqnarray*} a_6 = 30031 = 59\cdot 509 \end{eqnarray*}$ .

Von deiner Aussage, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ identisch ist mit der Menge der Primzahlen bleibt somit nichts übrig, nicht mal $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M\supset \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ . Genau deswege ja die Frage nach einem Neustart, aber du hast es voll vermasselt. unglücklich

unglücklich

06.11.2010, 17:14

Schattenlord

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Zitat:

Original von pivotvariable
Also die Aussage von oben mit bekannt 1 ist nicht nachvollziehbar.......aber ein Tipp zur Lösung auf meine am Anfang genannte Frage ist leider auch noch nicht erschienen........langt nicht bereits ein simples Gegenbeispiel zur Wiederlegung wie ich es am Anfag aufgeführt habe???

Die Aussage 1 besagt, dass nur 1 Teiler von einer Zahl und ihrem Nachfolger ist.
Daher ist eine Primzahl nicht Teiler ihres Produktes mit anderen Primzahlen +1.

Ich verstehe nur nicht warum ihr mir nicht glaubt. Wir hatten doch selbst in unseren Analysis I Übungen eine ähnliche Aufgabe. Bei uns war P als die alle Primzahlen definiert.

Wenn du es aber nicht weißt, dann mach die Aufgabe doch einfach doppelt. Einmal für alle Primzahlen und einmal für beliebige.

Für alle kannst du meine Lösung nehmen.

Für beliebige kannst du es einfach mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

06.11.2010, 17:43

pivotvariable

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was du bewiesen hats ist gemäß euklid dass die Menge der Primzahlen unendlich ist.....aber nicht, dss meine oben beschrieben Menge mit der der Primzahlen übereinstimmt.

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