Äquivalenzrelationen bei Mengen

04.11.2010, 22:37	boro	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen bei Mengen abend, ich komm bei 3 aufgaben nicht weiter und hoffe von euch n tipp zu bekommen. Es geht um Aufgabe 5b, d und e zu 5b) ich muss sagen das ich das mit den äquivalenzklassen noch nicht ganz verstanden hab und würde erstmal behaupten es gibt unendlich bei den rationalen zahlen, könnte aber nicht begründen warum zu d) und e) hab ich leider keine idee bin für jede hilfe dankbar gruß boro [attach]16495[/attach]
05.11.2010, 03:03	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
zur 5b) Teil die Gleichung durch bd. (Das darfst du ja, weil bd ungleich Null ist.) zur 5d) Du nimmst jeweils ein beliebiges Element aus den drei Äquivalenzklassen. Dann zeigst du, dass die Summe der jeweiligen beliebigen Elemente aus den beiden Klassen links gleich dem beliebigen Element aus der Klasse rechts ist. Ich würde so anfangen: Sei $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \in \overline{(a,b)} \Leftrightarrow x_1b=y_1a \Leftrightarrow \frac{x_1}{y_1}=\frac{a}{b} \end{eqnarray}$ Dasselbe mit $\begin{eqnarray} (x_2,y_2) \in \overline{(c,d)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_3,y_3)\in \overline{(ad+bc,bd)} \end{eqnarray}$ , dann ein bisschen umformen und addieren. zur 5e) Du suchst also ein neutrales Element $\begin{eqnarray} \overline{(e_1,e_2)} \end{eqnarray}$ , d.h. es muss gelten: $\begin{eqnarray} \overline{(a,b)}+\overline{(e_1,e_2)}=\overline{(a,b)} \end{eqnarray}$ Das sollte erst mal für den Anfang reichen.
05.11.2010, 11:31	boro	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 5b) also ad=bc zu $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray}$ ? und was sagt mir das? sind die drei klassen gerade, ungerade und neutral also (1,1)?
05.11.2010, 15:14	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh nicht, was du mit gerade und ungerade meinst. Was sagt denn die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \end{eqnarray}$ ? Dass ein Paar $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ und ein anderes Paar $\begin{eqnarray} (c,d) \end{eqnarray}$ in Relation stehen, wenn sie denselben Bruch ergeben, also z.B. $\begin{eqnarray} (3,5) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (6,10) \end{eqnarray}$ usw. Die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray} (3,5) \end{eqnarray}$ sind eben alle Arten, den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{3}{5} \end{eqnarray}$ mithilfe eines Zahlenpaars darzustellen. Also kannst du eine Äquivalenzklasse einer rationalen Zahl zuordnen und umgekehrt. Ich geh gleich weg, d.h. es wär schön, wenn jemand für mich übernehmen könnte.
05.11.2010, 16:38	boro	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ok. wie komm ich von da aus zur anzahl der klassen?
07.11.2010, 15:04	boro	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw. muss man wirklich etwas über die anzahl sagen? eigentlich nicht oder? es wird wohl ausreichen einfach zu sagen dass alle paare die den gleichen bruch beschreiben eine äquivalenzklasse sind danke für deine hilfe
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