Gruppen Beweise

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güntherx Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Beweise
Hallo!

Sei eine Gruppe:

1.) Beweise, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist und erfüllt.

2.) Beweise, dass das inverse Element für jedes eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft erfüllt.

3.) Gib ein Beispiel für einen Nullteiler in an. Und finde unter den Gruppenbedingungen jene, welche für reelle (2 x 2)-Matrizen mit komponentenweiser Addition und Matrixmultiplikation verletzt sind.


Zu 1.)

Sei ein weiteres neutrales Element (neben ). Dann gilt:


Zu 2.)

Seien und zwei weitere inverse Elemente neben .
Dann gilt:
Also:


Zu 3.)

Beispiel für Nullteiler:

und


Bei 1.) und 2.) weiß ich nicht, wie ich am besten genau die Eigenschaften, dass bzw. dass beweise (die Gruppe ist ja nicht abelsch).

Bei 3.) bin ich bei den Bedingungen hängengeblieben. Eine Idee wäre hier, dass ja die Kommutativität für die Matrixmultiplikation nicht gilt. Diese Bedingung (Kommutativität) wird also verletzt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Normalfall ist die Definition des neutralen Elementes, genauso wie die Definition des Inversen ist (in dem Fall rechtsinvers).

zu drittens : Abelsch zu sein ist eine Sondereigenschaft von Gruppen, die nicht definierend für eien Gruppe ist. Wie siehts denn aus, ist jede Matrix invertierbar? Was folgt daraus für die Gruppe mit der Matrixmultiplikation?
güntherx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Also im Normalfall ist die Definition des neutralen Elementes, genauso wie die Definition des Inversen ist (in dem Fall rechtsinvers).


Naja, ich bin mir auch nicht ganz sicher, was da verlangt wird. Könnte es sein, dass da sowas hin soll?

de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie#Mathematische_Definition_des_Gruppenbegriffs

Unter "Abschwächung" findet man Beweise zu "Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers" und "Jedes linksneutrale Element ist auch rechtsneutral". Ich weiß sonst auch nicht, was man damit meinen könnte, dass man beweisen soll, dass die Eigenschaft bzw. erfüllt ist.

Der Prof hat in der Vorlesung gesagt, dass da einiges zu tun sei, da die Gruppe ja nicht abelsch ist.
Aber wie gesagt...ich weiß nicht, was man da tun könnte. :/


Zitat:
Original von Mazze
zu drittens : Abelsch zu sein ist eine Sondereigenschaft von Gruppen, die nicht definierend für eien Gruppe ist. Wie siehts denn aus, ist jede Matrix invertierbar? Was folgt daraus für die Gruppe mit der Matrixmultiplikation?



Naja, da gibt es doch mehrere versch. Bedingungen. Spontan fällt mir ein, dass nur quadratische Matrizen invertierbar sind.
Aber ich weiß jetzt nicht, welche Bedingung dadurch problematisch wird. Es sind auf jeden Fall alle Matrizen invertierbar, da es sich um 2x2 Matrizen handelt.


Ist der Rest aus meinem ersten Post eigentlich soweit richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn eine Gruppe definiert? Schreibe mal alle Axiome hin.

Ich gehe davon aus ihr habt die 1 über definiert. Nun sollst du zeigen, dass aber auch gilt. Das ist nicht selbstverständlich.
güntherx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, das muss es sein. smile
Ich selber muss mich leider auch an Definitionen aus div. Büchern orientieren, da ich Mathematik nur als Nebenfach studiere und Vorlesungsüberschneidungen habe bzw. deshalb jede Woche eine VO verpasse. Von der VO gestern habe ich leider noch keine Kopie. Aber es kann ja eigentlich nichts anderes sein.



Geht das so?
güntherx Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich melde mich nochmal. Augenzwinkern

Analog dazu wäre dann:



Oder ist beides falsch?

Zu den zwei Kriterien, die die komponentenweise Matrizenaddition - multiplikation verletzt, ist mir leider noch nichts eingefallen.
Kann nochmal jemand was dazu sagen?


Danke. smile
 
 
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