Frage zu Faktorring

05.11.2010, 10:40

jacob17

Frage zu Faktorring

Hallo,
Könnt ihr mir sagen, was man sich unter dem Faktorring Z[i]/(2) vorstellen kann.
Bisher weiß ich, dass das der Ring der gaußschen ganzen Zahlen ist, der Ring somit eine Teilmenge der komplexen Zahlen bildet. Kann man sich den Ring Z[i] dann als Menge aller komplexen Zahlen vorstellen wobei für ein Element aus Z[i] mit a = x + iy gilt dass x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z sind? und mein Ideal 2 bedeutet dann, dass das die Menge der ganzen komplexen Zahlen ist die durch 2 teilbar ist?

05.11.2010, 13:19

system-agent

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Ja, man kann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} \{a+ib\quad:\quad a,b\in\mathbb Z\}\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ ein Gitter in der komplexen Ebene.

Das Ideal $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ ist per Definition die Menge aller Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ , das heisst
$\begin{eqnarray*} (2)=\{2z\quad:\quad z\in\mathbb Z[i]\}=\{2a+i2b\quad :\quad a,b\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

Im Faktorring werden nun alle diese Elemente aus $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ identifiziert dh immer wenn man ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ hat und dieses Element hat geraden Real- und Imaginärteil, dann wird das Element als Null im Faktorring angesehen.

05.11.2010, 22:59

jacob17

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Ist dann der Faktorring Z[i]/(2) eine Art Zwischenkörper von Z?

05.11.2010, 22:59

jacob17

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Und was ist ein Gitter in der komplexen Zahlenebene?

06.11.2010, 19:05

system-agent

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Ein Gitter in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist zb $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ . Allgemeiner ist es eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb C\simeq\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ derart, dass diese Untergruppe zwei $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -linear unabhängige Basisvektoren enthält.

Wie kommst du auf die Idee dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]/(2) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist? Ich habe es nicht nachgerechnet, das müsstest du schon beweisen.
Es ist einfach ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

06.11.2010, 21:17

jacob17

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Müsste es nicht ein Körper sein, da es ja ein Unterring von C ist und C ein Körper ist? verwirrt

06.11.2010, 21:53

galois

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Zitat:

Original von jacob17
Müsste es nicht ein Körper sein, da es ja ein Unterring von C ist und C ein Körper ist? verwirrt

Das spielt doch hier keine Rolle.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ ist bezüglich der Multiplikation keine Gruppe und daher kann es auch kein Körper sein.

(Sorry, LateX-Probleme gehabt. Augenzwinkern

)

07.11.2010, 02:20

Cugu

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$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist kein Primelement in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ kein Primideal. Also muss es Nullteiler in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]/(2) \end{eqnarray*}$ geben.

Hier ist so einer:
$\begin{eqnarray*} (1+i)(1+i)=2i\equiv 0 \pmod 2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]/(3) \end{eqnarray*}$ ist hingegen ein Körper.

07.11.2010, 11:30

jacob17

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Kann man dann ganz allgemein sagen, dass Z[i] / (p) ein Körper ist genau dann wenn p Primideal?
Noch eine Frage: Ist (1+i) Element von Z[i]/(2)? Wunder' mich nur da dass doch kein Vielfaches von 2 ist?

07.11.2010, 14:00

Cugu

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Es gilt allgemein: $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ Primideal $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow R/I \end{eqnarray*}$ Integritätsbereich.
Außerdem ist ein endlicher Integritätsbereich ein Körper.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]/2\mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ leben nicht Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ sondern Restklassen Modulo $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ ist ein Repräsentant der Restklasse $\begin{eqnarray*} 1+i+2\mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ .

---

Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ geschrieben, um Missverständnisse zu vermeiden.
$\begin{eqnarray*} (1+i) \end{eqnarray*}$ hatte nichts mit dem von $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ erzeugten Hauptideal zu tun, sondern mit Punkt- vor Strichrechnung.

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