Matrizen und Vektormultiplikation

05.11.2010, 18:09

H1lfl0s

Matrizen und Vektormultiplikation

Also...was ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_2 & s_1 \\ s_3 & s_2 \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} o_1 \\ o_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_3 \\ s_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn alle s bekannt sind und man die o's ausrechnen will?
In der Lösung steht
$\begin{eqnarray*} o_2 = (s_2s_4 + s_3s_3)(s_2s_2 + s_1s_3)^{-1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} o_1 = (s_3 + s_1o_2)s_2^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll das gehen?
Man kann doch nich einfach 2 Vektoren vertauschen!?

H1lfl0s

05.11.2010, 19:17

Elvis

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Nimm an, die Lösung sei eindeutig. Setze die gegebene Lösung in die linke Seite ein. Wenn die rechte Seite herauskommt, stimmt's.

05.11.2010, 19:58

H1lfl0s

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aber wie soll ich den einsetzen wenn ich o_1 und o_2 nicht habe...
Des müsste man doch irgendwie umformen können oder?

06.11.2010, 11:53

Elvis

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Du hast doch $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o_1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} s_1,...,s_4 \end{eqnarray*}$ sind Elemente des Körpers. Und die Annahme, dass die Lösung eindeutig ist, ist äquivalent dazu, dass die Determinante der Matrix ungleich 0 ist. Diese Annahme ist auch schon in der Aufgabe enthalten, denn die Determinante ist $\begin{eqnarray*} s_2^2-s_1s_3 \end{eqnarray*}$ , und ihr Inverses ist Teil der Lösung $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ (... oder jedenfalls fast ... hast du die Aufgabe richtig abgeschrieben ?) .

Wenn die Lösung nicht gegeben ist, gilt $\begin{eqnarray*} Ao=s\Rightarrow o=A^{-1}s \end{eqnarray*}$ , dann musst du also nur die Inverse Matrix berechnen.

06.11.2010, 12:11

Leopold

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Da stimmt etwas nicht. Wenn das Gleichungssystem richtig angegeben ist, dann sollte in der Lösung für $\begin{eqnarray*} o_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ in der ersten Klammer jeweils ein Minuszeichen stehen.

Wenn hingegen das Gleichungssystem falsch ist, ja dann weiß ich auch nicht ...

06.11.2010, 20:23

H1lfl0s

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Also ich weiß nich ob ich es jetz richtig hinbekommen mit dem Formeleditor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_2 & s_1 \\ s_3 & s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} o_1 \\ o_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_3 \\ s_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das hier ist das Gleichungssystem...
Also ich will ja die beiden o's berechnen aber wie kann ich die ausrechnen?

Zitat:

Original von Elvis
Du hast doch $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o_1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} s_1,...,s_4 \end{eqnarray*}$ sind Elemente des Körpers.

Richtig aber $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o_1 \end{eqnarray*}$ hab ich nich... oder wie meinst du das?

Zitat:

Original von Elvis
Und die Annahme, dass die Lösung eindeutig ist, ist äquivalent dazu, dass die Determinante der Matrix ungleich 0 ist. Diese Annahme ist auch schon in der Aufgabe enthalten, denn die Determinante ist $\begin{eqnarray*} s_2^2-s_1s_3 \end{eqnarray*}$

Is auch soweit klar aber...

Zitat:

Original von Elvis
, und ihr Inverses ist Teil der Lösung $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ (... oder jedenfalls fast ... hast du die Aufgabe richtig abgeschrieben ?) .

Ja die Aufgabe ist richtig geschrieben. Aus was für einem Bereich ist den die Berechnung eines Inversen? Ich kenne nur Umkehrfunktion etc...

Zitat:

Original von Elvis
Wenn die Lösung nicht gegeben ist, gilt $\begin{eqnarray*} Ao=s\Rightarrow o=A^{-1}s \end{eqnarray*}$ , dann musst du also nur die Inverse Matrix berechnen.

Steht bei dir A für die Matrix?

Zitat:

Original von Leopold
Da stimmt etwas nicht. Wenn das Gleichungssystem richtig angegeben ist, dann sollte in der Lösung für $\begin{eqnarray*} o_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o_2 \end{eqnarray*}$ in der ersten Klammer jeweils ein Minuszeichen stehen.

Wenn hingegen das Gleichungssystem falsch ist, ja dann weiß ich auch nicht ...

Also das Gleichungssystem is richtig das weiß ich auf alle Fälle...
Hmmm...
Ihr habt mir schon ziemlich weitergeholfen danke schon mal dafür!

H1lfl0s

07.11.2010, 11:06

Elvis

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Wir reden nicht darüber , ob das Gleichungssystem richtig ist, sondern ob die Lösung richtig ist.
In deinem ersten Beitrag hast du ein Gleichungssystem und eine Lösung angegeben, deshalb habe ich vorgeschlagen, eine Probe zu machen, indem du die Lösung in die linke Seite einsetzt.
Leopold's Beitrag bezieht sich offenbar auch auf die von dir angegebene Lösung.
Wenn die Lösung nicht gegeben ist, muss man eben die Matrix invertieren, das war mein zweiter Vorschlag. (Hinweis: wenn du nicht weisst, wie man eine Matrix invertiert, kannst du ja fragen, hier sind eine handvoll Mathematiker, die wissen, wie das geht.)

07.11.2010, 18:44

H1lfl0s

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Also die Lösung ist auch richtig.
Ich glaube da hab ich etwas falsch verstanden, dachte ihr meintet das Gleichungssystem.
Kann cih das hier nachfragen wie man eine Matrix invertiert?
Oder soll ich dafür einen neuen Thread erstellen?
Aber wenn ich in das Gleichungssystem die Lösung für beide o's einsetze dann schaut das irgendwie ganz komisch aus und irgendwie nich richtig...
Weil es würde dann ja heißen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_2 & s_1 \\ s_3 & s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (s_3 + s_1o_2)s_2^{-1} \\ (s_2s_4 + s_3s_3)(s_2s_2 + s_1s_3)^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_3 \\ s_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Is das dann so richtig?
Und dann müsste man jetzt eine inverte Matrix berechnen oder?

H1lfl0s

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