Verschoben! Anzahl injektive Abbildungen zwischen 2 Mengen

06.11.2010, 10:16	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl injektive Abbildungen zwischen 2 Mengen Hi, ich habe hier folgende Aufgabe: Bestimmen Sie für alle $\begin{eqnarray} n,m \in \mathbb{N}, n \leq m \end{eqnarray}$ die Anzahl der injektiven Abbildungen von {1,...,n} nach {1,...,m} Meine Idee: Wir hatten in der VL einen Satz, der sinngemäß lautete: Für Mengen A,B bezeichnet $\begin{eqnarray} B^A \end{eqnarray}$ die Menge der Abbildungen von A nach B, demnach gilt, falls A,B endlich, dass $\begin{eqnarray} B^A \end{eqnarray}$ endlich und $\begin{eqnarray} \|B^A\| = \|B\|^{\|A\|} \end{eqnarray}$ Nun habe ich mir folgendes überlegt: Sei A die Menge {1,...,n} und B die Menge {1,...,m}, dann gilt \|A\| = n und \|B\| = m. Desweiteren sind A und B offensichtlich endlich. Weil A und B endlich gilt für $\begin{eqnarray} \|B^A\| = \|B\|^{\|A\|} = m^n \end{eqnarray}$ Aber das kann doch irgendwie noch nicht alles sein ? Die Aufgabe gibt 5 Punkte und ich hab hier irgendwie noch nichts gemacht ... Was meint ihr dazu, bzw. was hab ich vergessen / unterschlagen ? Danke EDIT: Kann das Bitte jemand nach Hochschulmathematik verschieben, da hab ich leider nicht aufgepasst, beim erstellen ... sry Edit (Gualtiero): Erledigt; hoffentlich in Analysis richtig.
06.11.2010, 10:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl injektive Abbildungen zwischen 2 Mengen Der zitierte Satz bezieht sich auf die Menge aller Abbildungen. In der Aufgabe geht es nur um injektive Abbildungen. Es ist trotzdem ein simples kombinatorisches Problem.
06.11.2010, 11:30	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl injektive Abbildungen zwischen 2 Mengen erst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort! Also ich hab das jetzt so gemacht: Sei A die Menge $\begin{eqnarray} \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ und B die Menge $\begin{eqnarray} \{1,...,m\} \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \|A\| = n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|B\| = m \end{eqnarray}$ . Desweiteren sind $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ offensichtlich endlich. Weil A und B endlich gilt für $\begin{eqnarray} \|B^A\| = \|B\|^{\|A\|} \end{eqnarray}$ Demnach gilt für die Anzahl aller Abbildungen von $\begin{eqnarray} A \Rightarrow B : \|B\|^{\|A\|} = m^n \end{eqnarray}$ Nun sind allerdings nur die injekiven Abbildungen gesucht, wobei nun gilt: $\begin{eqnarray} \|M_{injektiv}\| \leq m^n \end{eqnarray}$ Um eine beliebige Injektive Abbildung zu konstruieren ordnet man jedem $\begin{eqnarray} a_i \in A \end{eqnarray}$ genau ein $\begin{eqnarray} b_j \in B \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \forall i \leq n\ und\ j \leq m \end{eqnarray}$ . Dabei ist zu berücksichtigen, dass ein $\begin{eqnarray} b_j \end{eqnarray}$ wirklich nur einmal 'benutzt' werden darf, daher gilt für $\begin{eqnarray} \|M_{injektiv}\| \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|M_{injektiv}\| = \frac{m!}{(m-n)!} \end{eqnarray}$ Da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} \|B\| > \|A\| \end{eqnarray}$ ist dies offensichtlich möglich. passt das soweit ?
06.11.2010, 11:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl injektive Abbildungen zwischen 2 Mengen Korrekt!

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