Gauss-Legendre-Quadratur, Transformation

06.11.2010, 13:38	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss-Legendre-Quadratur, Transformation Hallo Zusammen Ich versuche es so kurz wie möglich zu halten. Auftrag war folgende Funktion mit Matlab zu approximieren: $\begin{eqnarray} Q_n \approx \int\limits_{1}^2 x^x\ dx = \underline {2.0504...} \end{eqnarray}$ Dazu sollte die Gauss-Legendre-Quadratur mit n = 4 verwendet werden! Ich habe die positiven Knoten und Gewichte mit Matlab exakt bestimmen können: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c\|c} k & x_k & w_k\\ \hline 1 & 0.861136311594053 & 0.347854845137457\\ 2 & 0.339981043584856 & 0.652145154862546\\ \end{array} \end{eqnarray}$ JETZT kommt mein Problem. Ich kriege es nicht hin, mit einer korrekten Intervallabbildung das obige Integral zu approximieren!!! Es ist ja: $\begin{eqnarray} Q_n = \frac{b-a}{2} \sum_{k=1}^n w_kf\left( \frac{b-a}{2}x_k+\frac{a+b}{2} \right) \end{eqnarray}$ In unserem Fall: $\begin{eqnarray} Q_4 = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^4 w_kf\left( \frac{1}{2}x_k+\frac{3}{2} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ transformieren gibt: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c\|c} k & x_k & x_{k,\ trans}\\ \hline 1 & 0.861136311594053 & 1.930568155797027\\ 2 & 0.339981043584856 & 1.669990521792428\\ 3 & -0.339981043584856 & 1.330009478207572\\ 4 & -0.861136311594053 & 1.069431844202974\\ \end{array} \end{eqnarray}$ AUSGESCHRIEBEN ergibt das ja: $\begin{eqnarray} Q_4 = \frac{1}{2} \left\{ w_1f(x_{1,\ trans})+w_2f(x_{2,\ trans})+w_3f(x_{3,\ trans})+w_4f(x_{4,\ trans}) \right\} \end{eqnarray}$ In unserem Fall (und übersichtshalber stark gerundet!): $\begin{eqnarray} Q_4 = \frac{1}{2} \left\{ 0.351.93+0.651.67+0.651.33+0.351.07 \right\} = \underline {1.5000...} \end{eqnarray}$ Aber dieser Wert ist doch Meilen entfernt von 2.0504...!!! Wieso? Was mache ich falsch? Auch bei n = 40 gibt Matlab noch immer 1.5 aus!? Meine Knoten und Gewichte stimmen 100%ig, auch für grosse n. Mein Fehler muss irgendwo bei der Rechnung danach liegen! Ich kann mir selber nicht mehr helfen, da diese Aufgabe als Zusatz gedacht war. Unser Dozent hat keine konkreten Lösungen dazu. Ich bitte um Hilfe! Vielen Dank im Voraus Adriano
06.11.2010, 14:47	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, ich hab den Fehler gefunden!!! Nach einer Pause wieder vor dem Computer und bemerkt, dass ich die transformierten x_k direkt einsetze anstatt den Funktionswert davon, also f(x_k). Thread kann man löschen. Sorry dafür Wie löscht man Threads???
06.11.2010, 14:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Rückmeldung. Gar nicht.

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